Bevisoppgaver
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Guest
1) Dersom påstanden du skal bevisa er avhengig av eit naturleg tal: Prøv induksjonsbevis. Eksempel 1: Vis at 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2. Eksempel: Vis at eit polynom f(x) = a_0 + a_1 + ... + a_n*x^n alltid kan faktoriserast som f(x) = (x - b_0)(x - b_1)...(x - b_n), gjeve at du veit at eit kvart polynom f(x) har ei rot a slik at f(a) = 0. (Komplekse røtter; induksjon på graden til polynomet.)
2) Påstanden rommar ofte eit eller anna omgrep som er definert tidlegare. Bruk definisjonen i beviset. Eksempel: Ei gruppe er definert slik at (...). Vis at identitetselementet er unikt. Løysning: (Her kjem eit tips til: Om du skal visa at noko er unikt og du veit at det finst i alle fall eit slikt element - anta at det finst ein til og vis at dei to må vera identiske.) Anta at, i tillegg til e, så er f eit identitetselement. Definisjonen av ei gruppe gjev for alle x: x*e = e*x = x og x*f = f*x = x. Spesielt kan me la x vera f eller e, og me får f*e = f og f*e = e, dvs. e = f. (Ideen om å la x vera e eller f er ikkje tung - e og f er trass alt dei einaste (det einaste, viser det seg) elementa du kjenner til i gruppa.)
3) Tenk enkelt. Det er svært tvilsamt at du skal visa noko det er spesielt vanskeleg å bevisa. Bevisa som krev ein god idé er anten gjeve fullstendig i boka eller ideen er gjeve som eit hint.
4) Les bevis. Har du lest nok bevis, så veit du korleis bevis normalt sett vert bygd.
5) Bevis ting. Start med nokre bevis som er nesten identiske med bevis du har lest (dvs. start med dei enklaste og første oppgåvene ).
2) Påstanden rommar ofte eit eller anna omgrep som er definert tidlegare. Bruk definisjonen i beviset. Eksempel: Ei gruppe er definert slik at (...). Vis at identitetselementet er unikt. Løysning: (Her kjem eit tips til: Om du skal visa at noko er unikt og du veit at det finst i alle fall eit slikt element - anta at det finst ein til og vis at dei to må vera identiske.) Anta at, i tillegg til e, så er f eit identitetselement. Definisjonen av ei gruppe gjev for alle x: x*e = e*x = x og x*f = f*x = x. Spesielt kan me la x vera f eller e, og me får f*e = f og f*e = e, dvs. e = f. (Ideen om å la x vera e eller f er ikkje tung - e og f er trass alt dei einaste (det einaste, viser det seg) elementa du kjenner til i gruppa.)
3) Tenk enkelt. Det er svært tvilsamt at du skal visa noko det er spesielt vanskeleg å bevisa. Bevisa som krev ein god idé er anten gjeve fullstendig i boka eller ideen er gjeve som eit hint.
4) Les bevis. Har du lest nok bevis, så veit du korleis bevis normalt sett vert bygd.
5) Bevis ting. Start med nokre bevis som er nesten identiske med bevis du har lest (dvs. start med dei enklaste og første oppgåvene ).
