Fortegn og parenteser

[ForteserOgParentegn]

Hei! Jeg har noen spørsmål angående når man setter fortegn innenfor parenteser og når man setter de utenfor.
Jeg vet at [tex]-2^2 = -4[/tex], mens [tex](-2)^2 = 4[/tex]. Samtidig er [tex]\sqrt{4} = 2[/tex], men [tex]-\sqrt{4} = -2[/tex], men jeg er litt usikker på hvordan dette fungerer i større stykker.

For å demonstrere hva jeg spør om vil jeg dra fram to eksempler der jeg mener parentessetting praktiseres forskjellig:

Når man regner med ABC-formelen er det slik at dersom man har negativt b-ledd, kan man sette fortegnet innenfor potensen slik:
[tex]ax^2 - bx + c = 0[/tex]

[tex]x = \frac{-(-b)\pm\sqrt{(-b)^2-4ac}}{2a}[/tex]

Når man derimot fullfører kvadrater slik som her (Eksempel 21, kapittel 6 i Aschehougs R1-bok ang. omforming av sirkellikningen), gjør man noe ulikt:

1. [tex]x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12[/tex]
2. [tex]x^2 - 4x + 2^2 - 2^2 +y^2 + 6y + 3^2 - 3^2 = 12[/tex] [tex]\begin{matrix}\ \ \end{matrix}[/tex][tex]\leftarrow[/tex] Legger til og trekker fra[tex](\frac{4}{2})^2[/tex] og [tex](\frac{6}{2})^2[/tex]
3. [tex](x-2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 12[/tex]
4. [tex](x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25[/tex]
5. [tex](x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5^2[/tex]

Ser man på linje 3 her ser man at [tex]-2^2 = -4[/tex] og [tex]-3^2 = -9[/tex], og ikke henholdsvis 4 og 9. Dette betyr at man her har valgt å ikke innkapsle fortegnet i parentesene når man regnet ut stykket.

Dermed er spørsmålene mine som følger:
Hvorfor setter man fortegnet innenfor parentesen når setter inn et negativt ledd i ABC-formelen, mens man ikke gjør det ved f.eks. fullføring av kvadrater?
Mer generelt: Hvilke regler gjelder for når jeg kan sette fortegnet utenfor/innenfor parentesen ved potensregning og når kan jeg sette fortegnet utenfor/innenfor kvadratroten av et tall?

Jeg har prøvd å forklare så godt jeg kan, men hvis det er noe uklart ved spørsmålet mitt, er det bare å spørre i vei!
Takk!

[Aleks855]

Dersom $b$-koeffisienten er negativ, for eksempel $b = -3$, så vil vi i andregradsformelen, under rottegnet få $b^2 = (-3)^2 = 9$. Her gjør vi det du kaller for å "innkapsle fortegnet" i parentesen, fordi det er en del av verdien til $b$.

Det som skjer i utregningen du demonstrerer, er akkurat som du nevner innledningsvis. $-2^2 = -4$ og $(-2)^2 = 4$. Grunnen til dette er at regnerekkefølga sier at vi skal avgjøre potenser før vi avgjør addisjon og subtraksjon.

Så når vi ser $-2^2$ så må vi først tenke på potenser. Hva har vi av potenser? Jo, vi har $2^2$ som er det samme som $4$. Ok, da erstatter vi uttrykket $2^2$ med tallet $4$, og får $-4$.

Regnerekkefølga sier imidlertid at parenteser skal regnes ut før alt annet, så når vi har $(-2)^2$ så er det hele greia, inkludert minustegnet, som skal tas i betraktning når vi opphøyer uttrykket i andre potens.

I linje 3 i Aschehougs utregning, så har vi $\ldots -2^2 + \ldots = \ldots -4 + \ldots$ akkurat av denne grunn: potenser regnes ut FØR subtraksjon. Derfor skriver vi $2^2$ som $4$ før vi i det hele tatt tenker på pluss-/minustegnene som står rundt potensen.