To grenseverdier

[Markus]

Finn grenseverdiene
$$[1] \, \lim_{x\to \infty} \left (1+\frac{a}{x} \right )^{bx}$$ $$[2] \, \lim_{x \to \infty} \frac{x+x^2+x^3+\dots + x^x}{1^x+2^x+3^x+\dots + x^x}$$

[Kay]

Finn grenseverdiene
$$[1] \, \lim_{x\to \infty} \left (1+\frac{a}{x} \right )^{bx}$$ $$[2] \, \lim_{x \to \infty} \frac{x+x^2+x^3+\dots + x^x}{1^x+2^x+3^x+\dots + x^x}$$

Må nesten tenke litt mer for å få til #2, men #1 er ganske grei, tror jeg iallefall.

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}[/tex]

La oss innføre substitusjonen [tex]\lambda =\frac{a}{x}[/tex]

Da får vi at

[tex]\left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}=(1+\lambda)^{\frac{ba}{\lambda}}[/tex]

Fra logaritmereglene kan vi si at [tex](1+\lambda)^{\frac{ba}{\lambda}}=e^{b \lambda \frac{\ln(1+\lambda)}{\lambda}}[/tex]

Så er det bare å kjøre på med l'Hopitals og vise at grenseverdien for logaritmeuttrykket er [tex]1[/tex]

Derfor så oppnår vi til slutt at [tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}=e^{ba\lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{\ln(1+\lambda)}{\lambda}}=e^{ba}[/tex]

[Markus]

Finn grenseverdiene
$$[1] \, \lim_{x\to \infty} \left (1+\frac{a}{x} \right )^{bx}$$ $$[2] \, \lim_{x \to \infty} \frac{x+x^2+x^3+\dots + x^x}{1^x+2^x+3^x+\dots + x^x}$$

Må nesten tenke litt mer for å få til #2, men #1 er ganske grei, tror jeg iallefall.

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}[/tex]

La oss innføre substitusjonen [tex]\lambda =\frac{a}{x}[/tex]

Da får vi at

[tex]\left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}=(1+\lambda)^{\frac{ba}{\lambda}}[/tex]

Fra logaritmereglene kan vi si at [tex](1+\lambda)^{\frac{ba}{\lambda}}=e^{b \lambda \frac{\ln(1+\lambda)}{\lambda}}[/tex]

Så er det bare å kjøre på med l'Hopitals og vise at grenseverdien for logaritmeuttrykket er [tex]1[/tex]

Derfor så oppnår vi til slutt at [tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}=e^{ba\lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{\ln(1+\lambda)}{\lambda}}=e^{ba}[/tex]

Jepp, det er helt korrekt. Gjorde omtrent akkurat det samme som deg, minus substitusjonen. Er nok litt mer arbeid med nummer 2, men underveis kan du få bruk for resultatet av grenseverdien du nettopp viste, litt avhengig av fremgangsmåten din.

[Mattebruker]

Adg. grenseverdi 2:

Multipliser teljar og nemnar med x[tex]^{-x}[/tex]. Då ser vi at teljar går mot 1 når x går mot uendeleg.


Nemnar dannar ei konvergent geometrisk rekkje der første leddet a[tex]_1[/tex] = 1 og kvotienten k = e[tex]^{-1}[/tex].


Summen S av ledda i nemnar = a[tex]_1[/tex]/(1 - k ) = 1/(1 - e[tex]^{-1}[/tex] ) = e/(e - 1) .


Grenseverdien (x går mot uendeleg ) teljar/nemnar = 1/e/(e - 1 ) = ( e - 1 )/e

[Markus]

Adg. grenseverdi 2:

Multipliser teljar og nemnar med x[tex]^{-x}[/tex]. Då ser vi at teljar går mot 1 når x går mot uendeleg.


Nemnar dannar ei konvergent geometrisk rekkje der første leddet a[tex]_1[/tex] = 1 og kvotienten k = e[tex]^{-1}[/tex].


Summen S av ledda i nemnar = a[tex]_1[/tex]/(1 - k ) = 1/(1 - e[tex]^{-1}[/tex] ) = e/(e - 1) .


Grenseverdien (x går mot uendeleg ) teljar/nemnar = 1/e/(e - 1 ) = ( e - 1 )/e

Flotters mattegjest!

Hvordan regna du ut grenseverdien til nevneren? Ved hjelp av grensverdi nummer 1, eller hadde du en annen måte?

[Mattebruker]

Det allmenne leddet i nemnar ( etter multiplikasjon med x[tex]^{-x}[/tex] ) kan skrivast på forma


a[tex]_m[/tex] = ( n går mot uendeleg (1 + 1/n )[tex]^n[/tex] )[tex]^{-m}[/tex] = e[tex]^{-m}[/tex] , m >= 0