kombinatorikk?

[Guest]

12 menn stiller seg opp på rad i en tilfeldig rekkefølge. To av mennene heter Hansen og Olsen. Hva er sannsynligheten for at det står akkurat 4 menn mellom Hansen og Olsen?

Jeg tegnet opp, og fant ut at det finnes 14 muligheter der det er fire menn mellom Hansen og Olsen. Den totale måten alle kan ordne seg i er 12!. Så jeg tok 14/12!, men får feil svar.. jeg forstår ikke hva jeg har gjort feil?

[Mattebruker]

Hansen , Olsen og dei 4 " mellommennene " utgjer ei " blokk ". Denne kan setjast saman på 2! [tex]\cdot[/tex]10[tex]\cdot[/tex]9[tex]\cdot[/tex] 8 [tex]\cdot[/tex] 7 ulike måtar = 10080 ulike måtar.


Vidare kan kvar " blokk " stillast opp i 7! ulike rekkefølger . Da får vi


P( suksess ) = [tex]\frac{g}{m}[/tex] = [tex]\frac{10080\cdot7!}{12!}[/tex] = 0.106 = 10.6 %


Ska tru om dette stemmer ?

[DennisChristensen]

12 menn stiller seg opp på rad i en tilfeldig rekkefølge. To av mennene heter Hansen og Olsen. Hva er sannsynligheten for at det står akkurat 4 menn mellom Hansen og Olsen?

Jeg tegnet opp, og fant ut at det finnes 14 muligheter der det er fire menn mellom Hansen og Olsen. Den totale måten alle kan ordne seg i er 12!. Så jeg tok 14/12!, men får feil svar.. jeg forstår ikke hva jeg har gjort feil?

Du har blandet to forskjellige fremgangsmåter. La oss først se på en løsning der vi deler på $12!$, slik du har gjort. Da er vi nødt til å telle alle kombinasjoner hvor Hansen og Olsen står med nøyaktig 4 menn imellom seg. Det finnes flere enn du har telt opp: La oss si at Hansen står som nummer 1 og Olsen som nummer 6. Det er nå $(12 - 2)! = 10!$ forskjellige måter å stokke om de andre mennene i rekka på. Resten av regnestykket følger tankegangen din, så vi får det endelige svaret $\frac{14 \cdot 10!}{12!} = \frac{14}{12 \cdot 11} = \frac{7}{66}.$

Vi kan også bruke en annen fremgangsmåte, nemlig å kun konsentrere oss om de ulike kombinasjonene Hansen og Olsen kan plasseres på, og ignorere hvordan de andre mennene står. Nå, som du telte opp riktig, så finnes det $14$ slike kombinasjoner som vi er ute etter i svaret vårt, nemlig dem hvor Hansen og Olsen har nøyaktig fire menn imellom seg. Vi er nødt til å dividere med det totale antallet plasseringer Hansen og Olsen kan ha. Ettersom rekkefølge er relevant, bruker vi nPr-funksjonen med to utvalgte av tolv mulige, og får svaret $\frac{14}{12\, P\, 2} = \frac{14}{132} = \frac{7}{66}.$

Som du kanskje har skjønt har du litt uheldig blandet disse to forskjellige fremgangsmåtene i svaret ditt. Du har telt kombinasjoner på én måte i telleren, men på en annen måte i nevneren. Den første fremgangsmåten er muligens mer intuitiv og rett-fram, men om du er kjent med nPr-funksjonen fra matematikk S eller R bør den andre måten være overkommelig også.