Separabel førsteordens difflikning

[Kwerty]

Hei,

sliter med denne her:

$\frac{dy}{dx}+x^{2}y=x^2$
Omskriver til $\frac{dy}{dx}=x^2(1-y)$ som blir $\frac{dy}{1-y}=x^{2}dx$. Integrerer på begge sider: $-ln(1-y)=\frac{x^3}{3}+C$. Men denne greier jeg ikke løse (ender opp med ln av negativt tall) Hva har jeg gjort feil?

[Aleks855]

Hint: $\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y=\ln |y|+C$. Ser du forskjellen og hva den utgjør for problemet ditt?

[Kwerty]

Kommer egentlig ikke noe videre av det, nei!

[Janhaa]

Kommer egentlig ikke noe videre av det, nei!

$(\ln (1-y){)}^{\prime }=\frac{-1}{1-y}$

[Kwerty]

Hva hjelper det meg? Usikker på hvordan jeg skal behandle absoluttverditegnet her.

[Janhaa]

Hva hjelper det meg? Usikker på hvordan jeg skal behandle absoluttverditegnet her.

$exp(\ln (1-y))=c^{\prime }\ast exp(-x^3/3)$

$1-y=c^{\prime }\ast exp(-x^3/3)$

etc...

[Kwerty]

Skjønner det, men når jeg prøver å løse den ender jeg opp med ln av et negativt tall!

[ErikAndre]

Skjønner det, men når jeg prøver å løse den ender jeg opp med ln av et negativt tall!

Du kan definere absoluttverdien av et tall $a$ som følger:

$|a|=\{\begin{array}{ll}a& \text{om }a\ge 0,\\ -a& \text{ellers}.\end{array}$

Ser du nå hvordan dette hjelper på problemet ditt?

[Kwerty]

Er klar over det, men sliter med å få brukt det i praksis for en slik difflikning. Slik jeg gjør det nå, når jeg har et ln-uttrykk, er å sette konstantleddet lik +/-, og da fjerne absoluttversditegnet rundt det som tidligere var inne i ln-uttrykket. Men finnes nok en bedre metode? Er slik LF pleier å gjøre det.

[ErikAndre]

Det høres ut som om du bare bruker definisjonen av absoluttverdi? Det må du jo nesten gjøre om du skal komme deg videre. Si at du f.eks. skal regne ut
$I={\int }_0^1\frac{1}{x-2}\mathrm{d}x$.
Da kommer vi frem til at
$I=\ln |1-2|-\ln |-2|=\ln 1-\ln 2=-\ln 2$.