Buelengde igjen

[Guest]

Kurven C er gitt ved parametriseringen
r(t) = [cost, sin t, et]
for −∞ < t < ∞.

b) Bestem buelengden av den delen av kurven C som ligger mellom
punktene (1, 0, 1) og (cos T, sin T, eT ), T > 0.


Hvordan i all verden gjør man dette da??

[Solar Plexsus]

Vi ser at (cost,sint,e[sup]t[/sup])=(1,0,1) gir t=0. Så buelengden S av den delen av kurven som ligger mellom punktene (1,0,1) og (cosT,sinT,e[sup]T[/sup]) er

S = [itgl][/itgl][rot][/rot]f(t) dt ... t=0 (nedre integrasjons) -> T (øvre integrasjonsgrense)

der

f(t) = (dx/dt)[sup]2[/sup]+ (dy/dt)[sup]2[/sup] + (dz/dt)[sup]2[/sup]
= (-sint)[sup]2[/sup] + (cost)[sup]2[/sup] + (e[sup]t[/sup])[sup]2[/sup]
= sin[sup]2[/sup]t + cos[sup]2[/sup]t + e[sup]2t[/sup]
= 1 + e[sup]2t[/sup].

Altså blir

s = [itgl][/itgl] kv.rot(1 + e[sup]2t[/sup]) dt ... t=0->T.

[Guest]

Tusen takk! Men dette integralet... Det burde jeg vel egentlig se selv, men det hvordan løser man det..?

[Guest]

Substituer rotutrykket, utfør en polynomdivisjon og en delbrøksoppspaltning, da skulle det være lettere å beregne integralet.

Substituerer du får du [itgl][/itgl] u[sup]2[/sup]/(u[sup]2[/sup]-1) du

[Solar Plexsus]

Bruk substitusjonen u=kv.rot(1 + e[sup]2t[/sup]). Da blir

du/dt = 2e[sup]2t[/sup]/[2*kv.rot(1 + e[sup]2t[/sup])] = e[sup]2t[/sup]/u = (u[sup]2[/sup] - 1) / u.

Dermed blir

S = [itgl][/itgl] u[sup]2[/sup]/(u[sup]2[/sup] - 1) du ... u=[rot][/rot]2 -> kv.rot(1 + e[sup]2T[/sup])
= [itgl][/itgl] 1 + (1/2) [ 1/(u - 1) - 1/(u + 1)] du ... u=[rot][/rot]2 -> kv.rot(1 + e[sup]2T[/sup]) osv.

[Guest]

Dette burde jeg iallefall klare - men nå har jeg holdt på for lenge med dette - jeg får ikke til å løse

int (1/u+1) og int (1(u-1)
engang

[Guest]

Aahh - ln | u+1 | og ln | u-1 | selvsagt!