matematikk.net

Kurven C er gitt ved parametriseringen
r(t) = [cost, sin t, et]
for −∞ < t < ∞.

b) Bestem buelengden av den delen av kurven C som ligger mellom
punktene (1, 0, 1) og (cos T, sin T, eT ), T > 0.


Hvordan i all verden gjør man dette da??

Vi ser at (cost,sint,e[sup]t[/sup])=(1,0,1) gir t=0. Så buelengden S av den delen av kurven som ligger mellom punktene (1,0,1) og (cosT,sinT,e[sup]T[/sup]) er

S = [itgl][/itgl][rot][/rot]f(t) dt ... t=0 (nedre integrasjons) -> T (øvre integrasjonsgrense)

der

f(t) = (dx/dt)[sup]2[/sup]+ (dy/dt)[sup]2[/sup] + (dz/dt)[sup]2[/sup]
= (-sint)[sup]2[/sup] + (cost)[sup]2[/sup] + (e[sup]t[/sup])[sup]2[/sup]
= sin[sup]2[/sup]t + cos[sup]2[/sup]t + e[sup]2t[/sup]
= 1 + e[sup]2t[/sup].

Altså blir

s = [itgl][/itgl] kv.rot(1 + e[sup]2t[/sup]) dt ... t=0->T.

Tusen takk! Men dette integralet... Det burde jeg vel egentlig se selv, men det hvordan løser man det..?

Substituer rotutrykket, utfør en polynomdivisjon og en delbrøksoppspaltning, da skulle det være lettere å beregne integralet.

Substituerer du får du [itgl][/itgl] u[sup]2[/sup]/(u[sup]2[/sup]-1) du

Bruk substitusjonen u=kv.rot(1 + e[sup]2t[/sup]). Da blir

du/dt = 2e[sup]2t[/sup]/[2*kv.rot(1 + e[sup]2t[/sup])] = e[sup]2t[/sup]/u = (u[sup]2[/sup] - 1) / u.

Dermed blir

S = [itgl][/itgl] u[sup]2[/sup]/(u[sup]2[/sup] - 1) du ... u=[rot][/rot]2 -> kv.rot(1 + e[sup]2T[/sup])
= [itgl][/itgl] 1 + (1/2) [ 1/(u - 1) - 1/(u + 1)] du ... u=[rot][/rot]2 -> kv.rot(1 + e[sup]2T[/sup]) osv.

Dette burde jeg iallefall klare - men nå har jeg holdt på for lenge med dette - jeg får ikke til å løse

int (1/u+1) og int (1(u-1)
engang

Aahh - ln | u+1 | og ln | u-1 | selvsagt!