Adventsproblem 2

[Gustav]

Finn alle funksjoner $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ slik at
$$\begin{gathered} 2\cdot f(x)-g(x)=f(y)-y,\text{og} \\ f(x)\cdot g(x)\ge x+1 \end{gathered}$$

[DennisChristensen]

Finn alle funksjoner $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ slik at
$$\begin{gathered} 2\cdot f(x)-g(x)=f(y)-y,\text{og} \\ f(x)\cdot g(x)\ge x+1 \end{gathered}$$

Om vi setter $y=0$ og $y=x$ inn i likningen ser vi at $2f(x)-g(x)=f(0)$ og $f(x)-g(x)=-x.$ Subtraherer vi disse likningene får vi at $f(x)=f(0)+x$ og $g(x)=f(0)+2x.$ Ulikheten sier dermed at $f(0{)}^2+3xf(0)+(2x^2-x-1)\ge 0$ for alle $x\in \mathbb{R}$. Spesielt må dette gjelde for $x=-2f(0)$, så vi vet at $-{(f(0)-1)}^2\ge 0.$ Dette impliserer at $f(0)=1$ er eneste mulighet, men ettersom $f(0)=1⟹f(0{)}^2+3xf(0)+(2x^2-x-1)=2x^2+2x$, et uttrykk som er negativt når $x\in (-1,0)$, vet vi at det ikke finnes noen slike funksjoner.