Areal innenfor polarkurve

[gjest123]

En lukket kurve C har i polarkoordinater ligning r = 1 − cos 2theta, 0 ≤ theta ≤ pi
regn ut arealet av området som ligger innenfor C, men utenfor sirkelen r = 1.

Kan noen hjelpe med løsning av denne? Sitter helt fast

[Guest]

matte2?

Her er hva jeg har gjort: https://imgur.com/a/tByCSXl
Vet ikke om det er riktig, dog... Har egentlig bare brukt den formelen for areal, og så tatt minus arealet til den 1/4 av sirkelen som kommer "inni" som vi ikke vil ha med. Kunne eventuelt brukt symmetri og regnet ut integralet fra pi/4 til pi/2 - A_1/4 sirkel, og dermed ganget dette resultatet med 2

[gjest123]

matte2?

Her er hva jeg har gjort: https://imgur.com/a/tByCSXl
Vet ikke om det er riktig, dog... Har egentlig bare brukt den formelen for areal, og så tatt minus arealet til den 1/4 av sirkelen som kommer "inni" som vi ikke vil ha med. Kunne eventuelt brukt symmetri og regnet ut integralet fra pi/4 til pi/2 - A_1/4 sirkel, og dermed ganget dette resultatet med 2

Herlig! Tusen hjertlig takk! Du har ikke tilfeldigvis gjort oppgave 3 også du? Syns vi har lært så lite av grenseverdier i forelesning.

[Markus]

Du har ikke tilfeldigvis gjort oppgave 3 også du? Syns vi har lært så lite av grenseverdier i forelesning.

Vet ikke om det er rett øving, men hvis det er følgende grenseverdi du skal vise $$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \cos \left(\frac{x^3}{x^2+y^2} \right)=1$$ så holder det å vise at $\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3}{x^2+y^2}=0$ (forstår du hvorfor?). Et hint for å komme i mål er å sette $x=r\cos(\theta)$ og $y=r\sin(\theta)$. Da blir nevneren din veldig fin. Ser du veien videre selv?

[Guest]

I den oppgaven så tok jeg bare utgangspunkt i hva jeg vet. Hmm. Flervariabel grenseverdi, hvordan kan jeg evaluere dette? Polarkoordinater er et alternativ, prøver det. Vil anbefale å huske at x^2+y^2 = r^2 (nevner), og at x = rcos(teta) y = rsin(teta).
Da må du bytte ut x,y->0,0 i grenseverdiuttrykket med r->0. Prøv å skriv opp det, hva skjer da? NB! grensa eksisterer ikke hvis den er avhengig av teta, men her vil du kanskje oppdage at den ikke gjør det... (kan også argumentere med cosinus sine egenskaper).
Kan også sjekke hva som skjer hvis du lar y=0, så evaluere lim_x->0 f(x,0), og x=0; lim_y->0 f(0,y).

Håper det var til hjelp!

Man kan vel også bevise det ved bruk av definisjonen på grenseverdi, men er veldig dårlig på beviser:
https://imgur.com/a/JAyYfOK

[Guest]

Men!! tilbake til oppgaven posten originalt dreide seg om. hvorfor får jeg forskjellig svar ved [tex]\int r_1^2 d\Theta -\pi /4[/tex] og [tex]\int (r_1-r_2)d\Theta[/tex], hva er det riktige å gjøre?

[Guest]

hvor r_1 = 1-cos(2teta) og r_2 = 1

[DennisChristensen]

Skjæringspunktene mellom kurven og sirkelen $r=1$ er gitt ved $\theta=\pi / 4$ og $\theta = 3\pi / 4$. Vi kan finne det ønskede arealet ved å bytte til polarkoordinater:
$$A = \int_{\theta = \pi/4}^{3\pi/4}\int_{r=1}^{1-\cos 2\theta}r\,\mbox{d}r\,\mbox{d}\theta.$$
Kommer du videre nå?

Her er hva jeg har gjort: https://imgur.com/a/tByCSXl
Vet ikke om det er riktig, dog... Har egentlig bare brukt den formelen for areal, og så tatt minus arealet til den 1/4 av sirkelen som kommer "inni" som vi ikke vil ha med. Kunne eventuelt brukt symmetri og regnet ut integralet fra pi/4 til pi/2 - A_1/4 sirkel, og dermed ganget dette resultatet med 2

Konturen til kurven vil ikke skjære ut en eksakt kvartsirkel, så du kan ikke bare trekke fra dette arealet.

[Guest]

Konturen til kurven vil ikke skjære ut en eksakt kvartsirkel, så du kan ikke bare trekke fra dette arealet.

Hmm, kan du forklare hvorfor? Utifra figuren jeg plotter i maple så ser det slik ut: https://imgur.com/a/fl2vIhv

Jeg var litt i tvil om dette først jeg også, tenkte at, "men, litt av figuren er jo utenfor denne kvartssirkelen?", men man integrerer jo fra vinklene, så teknisk sett så burde ikke det utenfor disse vinklene inkluderes? men kan hende jeg har misforstått metoden. Får det samme ved å regne ut integralet av (1-cos(2teta))^2 - integralet av 1 (fra nevnte vinkler).

[DennisChristensen]

Konturen til kurven vil ikke skjære ut en eksakt kvartsirkel, så du kan ikke bare trekke fra dette arealet.

Hmm, kan du forklare hvorfor? Utifra figuren jeg plotter i maple så ser det slik ut: https://imgur.com/a/fl2vIhv

Jeg var litt i tvil om dette først jeg også, tenkte at, "men, litt av figuren er jo utenfor denne kvartssirkelen?", men man integrerer jo fra vinklene, så teknisk sett så burde ikke det utenfor disse vinklene inkluderes? men kan hende jeg har misforstått metoden. Får det samme ved å regne ut integralet av (1-cos(2teta))^2 - integralet av 1 (fra nevnte vinkler).

Din første mistanke er helt korrekt; ettersom litt av figuren ligger utenfor kvartsirkelen, får vi ikke samme areal.

Selv om $\theta$-integralet er mellom to konstante vinkler, ser vi at grensene for $r$-integralet avhenger av $\theta$. Dette gjør at vi ikke ender opp med bare å beregne arealet av en sirkelsektor.

[Guest]

Hmm. Jeg har i hvert fall fått riktig på det jeg har levert (som er det jeg la ut tidligere i tråden).

[DennisChristensen]

Hmm. Jeg har i hvert fall fått riktig på det jeg har levert (som er det jeg la ut tidligere i tråden).

Nå har jeg sett utregningen din, og ser at jeg har misforstått tankemåten din litt. Jeg trodde du påstod at du kunne først finne arealet til hele figuren $\{(r,\theta)\in\mathbb{R}^2_{\mbox{polar}}\mid r \leq 1-\cos 2\theta, 0\leq \theta\leq \pi\}$, og så bare trekke av arealet til en kvartsirkel. Dette vil gi feil svar. Figuren din har riktignok overbevist meg om at du har forstått hvilke integralgrenser du skal sette opp.