Tredjegradslikning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Tredjegradslikning

Innlegg TordisTordis » 07/07-2019 12:49

Hei!
Dette er en oppgave jeg jobber med:

Gitt x^3+3x-1 = 0
1. Vis at likningen ikke har rasjonale løsninger.
2. Vis at likningen har nøyaktig en reell rot.
3. Vis at den reelle roten til likningen ligger mellom 0 og 1.
4. Bruk Cardanos metode for å finne den relle roten til likningen.

Mitt forslag:

1. Her ser jeg for meg at jeg skal sette inn p/q for x og finner ut noe lurt... Usikker på hva :lol:
2. Er usikker på hvordan jeg går fram her, men kan det være en ide å derivere funksjonen og så se om funksjonen alltid er stigende? Da er vel dette et tegn på bare en reell rot?
3. Dette kan jeg kanskje svare på ved å se om fortegnet skifter om jeg setter inn 1 og 2 for x i funksjonen?
4. Denne er vel rett fram, så jeg fikk 0,3222

Er jeg helt på bærtur? Bedre måter?
TordisTordis offline

Re: Tredjegradslikning

Innlegg Aleks855 » 07/07-2019 12:55

1: Ja, du er på riktig spor. Se på hvordan likninga ser ut med den substitusjonen. Prøv først å forenkle likninga slik at du ikke har brøker. Da får vi et uttrykk som vi kan gjøre litt konklusjoner fra.

2: Jepp, det funker.

3: 0 og 1, men ja. Riktig tenkt.

4: $x \approx 0.322$, og det er viktig at vi bruker $\approx$ her. $x = 0.322$ ville vært feil svar, fordi det er en tilnærming og ikke eksakt.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5836
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Tredjegradslikning

Innlegg TordisTordis » 07/07-2019 13:18

Oi. Takk for raskt svar!

Ja, altså... Jeg kunne kanskje tenkt at da får jeg p^3 + 3pq^2 - q^3 =0.
Da skal jeg sikkert komme fram til at dette ikke går an ved å sette inn to naturlige tall for p og q... Og et eller annet poeng med at p ikke er delelig på q.
Kan du hjelpe meg videre?
TordisTordis offline

Re: Tredjegradslikning

Innlegg Aleks855 » 07/07-2019 13:43

Ja, det er litt tricky.

Jeg tror det beste trikset er å dele opp tankegangen i enklere deler. For eksempel ved å se på pariteten til $p$ og $q$.

Først, la oss definere at $p/q$ er en redusert brøk. Det vil si at $\text{gcd}(p, q) = 1$. De har altså ingen felles primtallsfaktorer.

Tenk så over de tre ulike mulighetene:

1: Både $p$ og $q$ er partall.

2: Både $p$ og $q$ er oddetall.

3: Den ene er partall, den andre er oddetall.

Det skal la seg avgjøre at alle disse tre tilfellene enten fører til en selvmotsigelse, eller at $p^3 + 3pq^2 - q^3$ ikke kan bli $0$.

Jeg unngår å si svarene rett ut, fordi det er veldig lærerikt å tenke over akkurat dette, selv om du ikke kommer helt i mål selv. Spør videre hvis du står fast etter en stund.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5836
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Tredjegradslikning

Innlegg TordisTordis » 07/07-2019 13:49

Ja, nå skal jeg se på det :D Setter pris på at du tok deg tid til å svare. Takk!

(Godt mulig jeg spør deg senere, da :D )


* Og ett(!) eller annet poeng med at p ikke er delelig på q.

Måtte bare.
TordisTordis offline

Re: Tredjegradslikning

Innlegg TordisTordis » 07/07-2019 14:12

Hmm...

q og p kan i alle fall ikke begge være partall...

Jeg fikk en annen ide.
Hva om jeg setter inn p/q for x og så ganger alle ledd med q^2? Da får jeg jo p^3/ q + 3pq - q^2 = 0

Da er hi 3pq og q^2 naturlige tall. Skal dette holde må også p^3/q være et naturlig tall, men dette er ikke mulig da p ikke er delelig med q. Dette betyr at likningen ikke kan ha p/q som løsning.

Dette var vel ikke helt feil?
Nå er jeg spent på din løsning :-D
TordisTordis offline

Re: Tredjegradslikning

Innlegg Aleks855 » 07/07-2019 17:45

Som du sier, så kan ikke begge være partall.

Hvis begge er oddetall, så vil $p^3 + 3pq - q^3$ ikke kunne være 0, fordi vi får (oddetall + oddetall - oddetall) som blir et nytt oddetall.

Liknende argument for dersom de har forskjellig paritet.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5836
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Tredjegradslikning

Innlegg TordisTordis » 08/07-2019 11:19

Ja, jeg forstår at det er lite jeg husker fra bevisføring fra vgs...


Tusen takk!
TordisTordis offline

Re: Tredjegradslikning

Innlegg josi » 08/07-2019 12:19

Er det åpenbart at ikke både p og q kan være partall? Ved å sette p = 2r og q = 2s får vi:

2^3*r^3 +3*2r*2^2s^2-2^3*s^3 = 0 . Her kan vi forkorte med 2^3, og vi er tilbake i det samme uttrykket, men med ulike variabelnavn.
Hvis r eller s eller begge er odde, får vi em motsigelese. Hvis de begge er partall, kan vi fortsett å forkorte til r eller s er et oddetall. Dermed motsigelse, men i utgangspunktet var den (for meg) ikke åpenbar.

TordisTordis forslag om å multiplisere med q^2 er snedig, men det strander vel på at q kan være oddetallet 1. Da får vi ikke noen motsigelse.
josi offline

Re: Tredjegradslikning

Innlegg Aleks855 » 09/07-2019 15:07

josi skrev:Er det åpenbart at ikke både p og q kan være partall?


Ja, fordi vi definerte $x = p/q$ der $\text{gcd}(p, q) = 1$. Dersom begge er partall vil begge ha $2$ som felles faktor.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5836
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Tredjegradslikning

Innlegg josi » 09/07-2019 15:40

Takk! I etterkant er det meste åpenbart og intuitivt!
josi offline

Re: Tredjegradslikning

Innlegg Aleks855 » 09/07-2019 21:56

Matematikk i et nøtteskall :D
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5836
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Tredjegradslikning

Innlegg TordisTordis » 11/07-2019 21:10

Men hvorfor kunne ikke p og q være ett oddetall og ett partall? (Mulig jeg er helt fjern nå :roll: )
TordisTordis offline

Re: Tredjegradslikning

Innlegg josi » 12/07-2019 13:10

Hvis p er odde og q et partall, får vi oddetall + partall - partall som er et oddetall.
Hvis q er odde og p et partall, får vi partall +partall - oddetall som også er et oddetall.
Altså en motsigelse i begge tilfeller da likningen sier at summen skal være lik null som er et partall.
josi offline

Re: Tredjegradslikning

Innlegg zzzivert » 13/07-2019 15:41

En annen måte å løse det på.
Hvis $p^3+3pq^2-q^3=0$ der $(p,q)=1$ så må vi ha at $p(p^2+3pq)=q^3$.
Så dersom et primtall deler $p$, må det også dele $q^3$ og derfor også $q$.
Men siden $(p,q)=1$ så må $p=\pm1$.
Vi kan også skrive det om til $q(q^2-3pq)=p^3$, og med samme argument får vi at $q=\pm1$.
Siden $(p,q)=(1,1) \vee (-1,1)$ ikke er en løsninger, har ikke likningen noen løsninger.
Sist endret av zzzivert den 16/07-2019 14:45, endret 1 gang
zzzivert offline
Noether
Noether
Innlegg: 44
Registrert: 27/10-2014 09:26

Neste

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 16 gjester