integral vs areal

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

integral vs areal

Innlegg tormund232 » 07/07-2019 22:11

Hvorfor tar en ikke hensyn til om grafen ligger over eller under x aksen når en regner bestemt integral. Integral svaret er noe annet enn areal svaret. (arealet må jeg ta hensyn til om grafen er over eller under x-aksen)

hva er forskjellen og hvorfor?
tormund232 offline

Re: integral vs areal

Innlegg Aleks855 » 07/07-2019 22:21

Et bestemt integral over en negativ funksjon (eller del av en funksjon) vil gi arealet med negativt fortegn.

For eksempel, hvis du betrakter $\int_0^{2\pi}\sin(x)\mathrm dx$, så vil man se at svaret blir $0$, fordi du har et areal over x-aksen, og et areal under x-aksen. Begge arealene er like store, men med motsatt fortegn, så de adderes til $0$. Et bestemt integral er derfor ikke nøyaktig det samme som arealet under (eller over) grafen, dersom grafen krysser under x-aksen.

For å finne arealet uavhengig av om det ligger over eller under x-aksen, så ville vi heller omgjort utregningen til $A = \int_0^{\pi}\sin(x)\mathrm dx - \int_\pi^{2\pi}\sin(x)\mathrm dx$, med brytepunkt på $x = \pi$, der grafen krysser x-aksen, og ganger det "negative" arealet med $-1$ for å få størrelsen på arealet.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5836
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: integral vs areal

Innlegg tormund232 » 07/07-2019 22:30

Aleks855 skrev:Et bestemt integral over en negativ funksjon (eller del av en funksjon) vil gi arealet med negativt fortegn.

For eksempel, hvis du betrakter $\int_0^{2\pi}\sin(x)\mathrm dx$, så vil man se at svaret blir $0$, fordi du har et areal over x-aksen, og et areal under x-aksen. Begge arealene er like store, men med motsatt fortegn, så de adderes til $0$. Et bestemt integral er derfor ikke nøyaktig det samme som arealet under (eller over) grafen, dersom grafen krysser under x-aksen.

For å finne arealet uavhengig av om det ligger over eller under x-aksen, så ville vi heller omgjort utregningen til $A = \int_0^{\pi}\sin(x)\mathrm dx - \int_\pi^{2\pi}\sin(x)\mathrm dx$, med brytepunkt på $x = \pi$, der grafen krysser x-aksen, og ganger det "negative" arealet med $-1$ for å få størrelsen på arealet.


Takk :)

så svaret på integralet blir da 0, som er riktig? på ditt eksempel
tormund232 offline

Re: integral vs areal

Innlegg Aleks855 » 09/07-2019 15:10

Ja, $\int_0^{2\pi}\sin(x)\mathrm dx = 0$. Dette forteller oss bare at funksjonen har like stort areal over x-aksen som under.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5836
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 32 gjester