matematikk.net

Hei! Sliter med følgende oppgave:
Temperaturen T i ⁰C i en kopp te er gitt ved T(t) = 60*2.72^(-t/30) + 20, t > 0. t står her for antall minutter etter at vi begynte å måle temperaturen.

(fikk til oppgave a-c, men ikke d)

d Forklar hvorfor temperaturen i teen aldri vil bli lavere enn 20 ⁰C.

(Nedenfor ligger det et bilde av oppgaven, og hvordan grafen så ut på Geogebra).

Fordi $60\cdot 2.72^{-t/30}$ aldri kan bli lavere enn 0. Så $T(t)$ er alltid $(\text{et positivt tall}) + 20$.

Hmm... tror jeg skjønte litt. Men det står t > 0, og betyr det ikke at hele funksjonen skal være over 0? Hvorfor skal kun 60*2.72^(-t/30) være over 0 og ikke + 20 (for 20 er jo også en del av funksjonen).

Hei,

[tex]T(t)=60*2,72^{(\frac{-t}{30})}+20[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty }2,72^{\frac{-t}{30}}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{2,72^{\frac{t}{30}}}=\frac{1}{\infty }=0[/tex]

Dermed går [tex]60*2,72^{\frac{-t}{30}}[/tex] mot [tex]0[/tex] etter lang tid og hele uttrykket [tex]T(t)[/tex] mot [tex]20C[/tex] etter lang tid og ikke under!
([tex]\frac{1}{2,72^{\frac{t}{30}}}[/tex] vil alltid ha positiv verdi og gå mot [tex]0[/tex] når [tex]x\rightarrow \infty[/tex]).



(Dvs at romtemperaturen er [tex]20C[/tex])

Hvis du ser på $2.72^{-\frac{t}{30}}$, så kan vi observere at uansett hvilken verdi du setter inn for $t$, så vil resultatet alltid være større enn 0.

Deretter blir dette ganga med 60. Vel, 60 * (et positivt tall) vil bli et nytt positivt tall.

Deretter adderer vi 20 på resultatet. Og da må vi igjen få et positivt tall, og denne gangen må det være større enn 20.

Med andre ord, uansett hva $t$ er, så vil $T(t) > 20$.

Men det står t > 0, og betyr det ikke at hele funksjonen skal være over 0?

Nei, det står at $t>0$ fordi $t$ er antall minutter etter vi begynner å måle temperaturen. Det gir ikke mening å sette inn negative verdier for $t$ her, fordi det ville vært antall minutter FØR vi begynte å måle temperaturen.

$T$ er derimot selve temperaturen. $T(t)$ er temperaturen etter $t$ minutter, og vi har sett at uansett hva $t$ er, så vil $T(t) > 20$.

Tusen takk for fantastiske svar! Det hjalp mye