matematikk.net

Står fast på denne oppgaven:

integralet av sinx*cosx dx

JulieH01 wrote:Står fast på denne oppgaven:

integralet av sinx*cosx dx

Bruk substitusjon. La $u = \sin x$. Kommer du i mål?

DennisChristensen wrote:

JulieH01 wrote:Står fast på denne oppgaven:

integralet av sinx*cosx dx

Bruk substitusjon. La $u = \sin x$. Kommer du i mål?

Jeg får ikke helt riktig svar. Har du en framgangsmåte?

Hei,

Ved substitusjon (som Dennis sier):

[tex]\int (sinx * cosx)dx[/tex]

setter
[tex]\begin{matrix} sinx=u\\cosx dx =du \end{matrix}[/tex]
[tex]dx=\frac{du}{cosx}[/tex]

og vi får

[tex]\int ucosx\frac{du}{cosx}=\int udu=\frac{1}{2}u^{2}+C = \frac{1}{2}sin^{2}x+C[/tex]


Alternativt ved delvis integrasjon:

[tex]\int (sinx*cosx)dx=sinx*sinx - \int (cosx*sinx)dx[/tex]
[tex]2\int (sinx*cosx)dx=sin^{2}x+C_{1}[/tex]
[tex]\int (sinx*cosx)dx=\frac{1}{2}sin^{2}x+C[/tex]

Takk skal du ha!

Alternativ løysing: Kjerneregelen baklengs !

[tex]\int sinx cosx dx[/tex] = [tex]\int sinx\cdot (sinx)' dx[/tex] ( kjerneregelen baklengs )= [tex]\frac{1}{2}[/tex] sin[tex]^{2}[/tex]x + C

Hvordan blir det når man skal integrere (sinx)^2? Kan man bruke substitusjon her også?

Her må du velje ein annan metode , eks. delvis integrasjon. Men det greiaste vil vere å innføre cosinus til den dobble vinkelen:
( * ) cos(2x) = 1 - 2 sin[tex]^{2}[/tex]x

Framgangsmåte:

Snu på formelen ( * ) slik at du får sin[tex]^{2}[/tex]x åleine på V. S. Deretter: Integrer H.S. ledd for ledd.

Ja,


[tex]\int (sinx*sinx)dx=sinx*(-cosx)-\int (cosx*(-cosx)dx = -sinx*cosx+\int (cosx*cosx)dx[/tex]

Så må du gjøre delvis integrasjon på [tex]\int (cosx*cosx)dx[/tex] og du kommer i mål (se på eksempelet mitt i forrige innlegg)

Nå blir jeg borte en stund og ikke tilgjengelig for hjelp på noen timer.

Hint ( jamfør delvis løysing v/ K. Saug ) : [tex]\int[/tex] cosx[tex]\cdot[/tex]cosx dx = [tex]\int[/tex]cos[tex]^{2}x dx[/tex] = [tex]\int[/tex]( 1 - sin[tex]^{2}[/tex]x ) dx

Viser komplett utregning ved delvis integrasjon, med innspillet fra Mattegjest.

[tex]\int (sinx*sinx)dx=sinx*(-cosx)-\int (cosx*(-cosx)dx = -sinx*cosx+\int (cosx*cosx)dx[/tex] =

[tex]-sinx*cosx+\int (1-sin^{2}x)dx=-sinx*cosx+x-\int (sin^{2}x)dx[/tex]

og vi får

[tex]2\int (sin^{2}x)dx=x-sinx*cosx+C_{1}[/tex]

[tex]\int (sin^{2}x)dx=\frac{1}{2}(x-sinx*cosx)+C[/tex]


Med [tex]cos(2x)=1-2sin^{2}x[/tex]

[tex]\int (sin^{2}x)dx=\frac{1}{2}\int (1-cos(2x))dx=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}sin(2x))+C=[/tex]
[tex]\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}sin(2x)+C[/tex]

(hvilket er det samme som løsningen vist ved delvis integrasjon)