Vektorfunksjoner

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
mtangen83

Hvis man tenker seg en ball som beveger seg slik i planet:

r(t)=[2t+4,t^3+1], t er fra og med -2 til og med 2.

Og en annen ball som beveger seg fra A(0,2) til B(4,-2) i en rett linje på samme tid. Altså den starter i (0,2) når t=-2 og stopper i (4, -2) når t=2.

Hvordan går jeg fram for å lage en parameterfremstilling av den andre ballens bevegelse?

En retningsvektor for bevegelsen til ball to blir i mitt hode [4, -2] - [0,2] = [4, -4]

Når jeg bruker vanlig regel for parameterfremstilling får jeg x=0+4*t og y=2-4*t
Dette blir en linje som er altfor lang, i forhold til at ballen skal starte sin bevegelse i (0,2) når t=-2.

Håper jeg uttrykte meg forståelig, hvis ikke gi et pip :)
SveinR
Abel
Abel
Posts: 656
Joined: 22/05-2018 22:12

Du har en korrekt generell parameterfremstilling og retningsvektor her, men husk at siden dette er en fysisk situasjon hvor vi ønsker at t skal representere tiden, så må vi ta hensyn til det. Vi vet at på 4 (sekunder? Antar det, selv om det ikke er oppgitt) skal den bevege seg fra punktet A til punktet B. Retningsvektoren/fartsvektoren skal da representere hvor langt den beveger seg på ett sekund.

I tillegg må du sørge for at punktet du får om du setter inn t=2 blir A(0,2). Slik som du setter opp parameterfremstillingen så får du punktet A når t=0.
mtangen83

Aha, tror jeg skjønner.

så etter at man har tatt hensyns til dette kommer frem til [t, 2-t] problemet nå er å få plassert denne på rett plass i koordinatsystemet. ballen skal bevege seg fra (0,2) til (4,-2), altså [4, -4]

Betyr det at jeg må finne et tall s slik at: s * [t, 2-t] = [4,-4] ? Jeg får ikke dette til å stemme.
SveinR
Abel
Abel
Posts: 656
Joined: 22/05-2018 22:12

Du tenker litt vanskelig her. Du vet at mellom A og B beveger ballen seg en lengde 4 i x-retning og en lengde 4 i y-retning. Dette tar en tid på 4 sekunder (eller iallefall 4 tidsenheter, hva nå de er, men la oss for enkelhets skyld anta sekunder). Hvor langt beveger ballen seg da på ett sekund, i hver retning? Har du dette så har du fartsvektoren/retningsvektoren.
mtangen83

Okay, jeg forstår 1 i x-retning og -1 i y-retning pr tidsenhet.

det gir vel denne retningsvektoren [1, -1], som igjen gir denne parameterfremstillingen hvis vi tar utgangspunkt i startpunktet (0,2):

0+t * 1 = t
2+t *(-1)= 2-t

Altså [t, t-2]

Men denne stemmer jo ikke, Her vi jo ballen begynne sin bevegelse i (-2,4)

Beklager at jeg ikke ser dette, jeg har sett meg helt blind på det her tror jeg. XD
SveinR
Abel
Abel
Posts: 656
Joined: 22/05-2018 22:12

Startpunktet er (0,2), men denne skal inntreffe når t=2. I ditt uttrykk så får du ikke (0,2) når t=2, men du får det punktet når t=0.

Problemet kommer fordi vi er vant til den generelle formelen for parameterfremstilling for en rett linje
x=x0+aty=y0+bt

I denne formelen så ser vi at startpunktet, (x0,y0), er det punktet vi får om vi setter inn t=0. Så om vi skal bruke denne formelen direkte, må vi vite hvilket punkt ballen er i når t=0. Dette kan vi finne ut greit, fordi vi vet at det er 2 sekunder etter at den er i punktet (0,2). Og siden vi har fartsvektoren [1,1] ender vi da opp i punktet (2,0) etter 2 sekunder.

Dermed får vi

x=2+1ty=0+(1)t

som forenkles til

x=2+ty=t


Du kunne også løst dette på en annen måte, ved å bruke startpunktet (0,2) men midlertidig skrive om parameterfremstillingen til
x=0+1(t+2)y=2+(1)(t+2)
og så forenklet den. Ser du hva jeg har gjort her?
mtangen83

Det var utrolig godt forklart, jeg skjønte det nå.
Tusen takk :D
Post Reply