Geometri - Kjeglesnitt - Hyperbelen

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Geometri - Kjeglesnitt - Hyperbelen

Innlegg Egiljang » 24/05-2020 13:21

Hei :)

Eg har ei oppgåve innan kjeglesnitt som eg sit fast på, og det ser berre ut til å
vera ei oppgåve og ei info-rute om hyperbelen i læreboka. Oppgåva og
forklaringa på Hyperbelen har eg lagt ved her.

Eg har antatt hyperbelen som det aktuelle kjeglesnittet ut frå oppgåveteksten, då hyperbelen kunne passa med bogar og former
slik ein framstiller lydbølger. Dette ser ut til å stemma med fasitsvaret til
oppgåve b). Samstundes så sit eg fast på oppgåve a), teikn figuren og c) Finna ut kvar kurva skjerer linjestykket AB

Fasitsvaret til c) er: "Skjeringspunktet S kan liggja to stadar mellom A og B. AM kan vera 120cm eller 40cm.

Eg ser for meg midten av bogen (lydbølgja) frå A vill liggja 40cm frå midten av bogen (lydbølgjar) til B, medan det frå toppen eller boten av bogane
er der avstanden mellom dei er størst, og det vil vera 120cm mellom dei. Dette får eg derimot ikkje fram når eg forsøkte å teikne figuren i Geogebra.
Eg har lagt ved Geogebra-teikninga, der nytta eg hyberbelen-verktyet, og forsøkte å sette den opp med verdiane og punktnamna frå oppgåveteksten.

Er det nokon som kan forklara kva eg har gjort feil i teikninga, og korleis finna staden der kurva skjerer linjestykket AB? :?
Vedlegg
Oppgåve 3.68 i Geogebra.png
Oppgåve 3.68 i Geogebra.png (16.44 KiB) Vist 503 ganger
Hyperbelen.jpg
Hyperbelen.jpg (386.92 KiB) Vist 503 ganger
Oppgåve 3.68.jpg
Oppgåve 3.68.jpg (361.21 KiB) Vist 503 ganger
Egiljang offline
Noether
Noether
Innlegg: 40
Registrert: 06/08-2019 11:40

Re: Geometri - Kjeglesnitt - Hyperbelen

Innlegg josi » 24/05-2020 15:03

La A være origo i koordinatsystemet. AB = 160 cm. Når P krysser AB, ser vi at
$F_1P + F_2P = AB$
Siden P ligger på en hyperbel, har vi
$F_1P - F_2P = 80$
$F_1P = 80 + F_2P$
$80 + F_2P + F_2P = AB$
$F_2P = \frac{AB - 80}{2} = 40$
De to skjæringspunktene blir
$ 40,\,40 + 80 = 120$
josi offline

Re: Geometri - Kjeglesnitt - Hyperbelen

Innlegg Egiljang » 01/06-2020 22:45

josi skrev:La A være origo i koordinatsystemet. AB = 160 cm. Når P krysser AB, ser vi at
$F_1P + F_2P = AB$
Siden P ligger på en hyperbel, har vi
$F_1P - F_2P = 80$
$F_1P = 80 + F_2P$
$80 + F_2P + F_2P = AB$
$F_2P = \frac{AB - 80}{2} = 40$
De to skjæringspunktene blir
$ 40,\,40 + 80 = 120$



Hei josi

Takk for svaret :)

Eg reknar med det skal stå
$80+F_2+F_1P=AB$? I så tilfelle så trur eg at eg heng med.

Kan ein då seia at skjeringspunket til $F_2P er 40$ ?
medan skjeringspunktet til $F_1P = F_2P + (F_1P-F_2P)= 120?
Som betyr at skjeringspunkta ligg på halvparten av avstandsdifferansen, og 1,5 gang avstandsdifferansen?
Prøver å sjå litt samanhengar, men det vert opp til lesaren om det gav meining.
Egiljang offline
Noether
Noether
Innlegg: 40
Registrert: 06/08-2019 11:40

Re: Geometri - Kjeglesnitt - Hyperbelen

Innlegg josi » 02/06-2020 08:28

Hei igjen og vel overstått pinse!

Eg reknar med det skal stå
80+F2+F1P=AB

Nei, det skal stå:
$80 + F_2P + F_2P = AB$
F2 angir det høyre brennpunktet og er følgelig ikke noe linjestykke.
Vi har at
$F_1P - F_2P = 80$
P ligger altså på en hyperbel, og når hyperbelarmene krysser AB, dvs linjestykket som forbinder brennpunktene, må vi ha at
$F_1P + F_2P = 160$
Ved å løse disse to likningene med hensyn på $F_1P $ , får vi det ene skjæringspunktet mellom hyperbelkurven og AB. Det andre følger ut fra symmetrien.
josi offline

Re: Geometri - Kjeglesnitt - Hyperbelen

Innlegg Egiljang » 04/07-2020 20:08

josi skrev:Hei igjen og vel overstått pinse!

Eg reknar med det skal stå
80+F2+F1P=AB

Nei, det skal stå:
$80 + F_2P + F_2P = AB$
F2 angir det høyre brennpunktet og er følgelig ikke noe linjestykke.
Vi har at
$F_1P - F_2P = 80$
P ligger altså på en hyperbel, og når hyperbelarmene krysser AB, dvs linjestykket som forbinder brennpunktene, må vi ha at
$F_1P + F_2P = 160$
Ved å løse disse to likningene med hensyn på $F_1P $ , får vi det ene skjæringspunktet mellom hyperbelkurven og AB. Det andre følger ut fra symmetrien.




Hei Josi :)

Takk for svaret.
Eg forstår at F2 angir det høgre brennpunktet, men strever med
å forstå utrekninga etter F1P – F2P = 80

F1P + F2P = AB (Linjestykket AB, som er 160)
Hyperbelen vert definert med at avstandsdifferansen mellom F1P og F2P
er konstante.
F1P - F2P = 80 (Differansen mellom punkt F1P og F2P)
F1P = 80 + F2P (Likninga vert løyst med omsyn til F1P, og
F2P vert flytta til høgre for erlik-teiknet)

80+F2P(80)+F2P(80) =AB(160) ?

Eg tolkar det slik, og då ville summen blitt 240 på høgre sida…
F2 angir høgre brennpunkt, men tolkar den også som verdien 80
i likninga og gir det ikkje meining (rett svar i mi utrekning)
å addera med den to gongar.
Håpar det oppklara kvar eg vert forvirra. :?

80+F2P(80) = 160

F2P = AB(160)-konstanten(80) / 2 (2 punkt?) = 40

Skjeringspunkt 1 er 40,
skjeringspunkt 2 er 40 + konstanten(80) =120

40 og 120 vert der hyperbelarmane kryssar AB slik eg forstår det.
Egiljang offline
Noether
Noether
Innlegg: 40
Registrert: 06/08-2019 11:40

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 14 gjester