Monotoniegenskaper og bruk av tegn

[EmmettBrown]

Jeg ble litt forvirret her. Jeg holder på med noen oppgaver der jeg blant annet skal bestemme monotoniegenskaper til funksjoner. Så begynte jeg å lure på korrekt bruk av tegnene
$\le$, $<$, $>$ og $\ge$.

En av funksjonene er $f(x)=2x^3-5x^2-4x+3$, $x\in [-2,4]$. Jeg har funnet ut at $f$ er voksende når $-2<x<-\frac{1}{3}$ og når $2<x<4$ og minkende når $-\frac{1}{3}<x<2$. I følge fasiten er dette riktig.

En annen funksjon er $f(x)=-x^3+3x^2-2$ , $x\in [-2,4]$. Her ble svaret mitt at $f$ er voksende når $0<x<2$ og minkende når $-2<x<0$ og når $2<x<4$. Her sier fasiten at tallene mine er riktige, men der er det bare brukt $\le$-tegn der jeg har $<$-tegn. Dette skjønner jeg ikke. I følge fasiten er da funksjonen voksende eller minkende i ekstremalpunktene der $f^{\prime }(x)=0$. Hva er det jeg ikke ser her?

Dette fikk meg til å tenke på tegnsetting mer generelt. Når det f.eks. står at $x\in [-2,4]$, er vel dette det samme som $-2\le x\le 4$. Burde ikke da det riktige svaret på den øverste oppgaven her være at funksjonen er voksende når $-2\le x<-\frac{1}{3}$ og når $2<x\le 4$ og minkende når $-\frac{1}{3}<x<2$?

[Gustav]

Godt spørsmål! Og du har helt rett i at fasiten er upresis/feil. Definisjon: En funksjon f(x) på et intervall I kalles monotont voksende dersom $f(x)\ge f(y)$ for alle $x,y\in I$ slik at $x\ge y$. (og tilsvarende monotont synkende)

Det riktige på oppgaven din blir derfor å inkludere endepunktene på intervallene der funksjonen er voksende eller synkende.

[Guest]

Takk for tilbakemelding . Da klapper jeg meg selv på skulderen for å ha sett en feil i fasiten .