Integrer cosec^2(x)

[Aleks855]

Jeg har alltid vært dårlig på integrasjon, spesielt med trig-funksjoner, men denne ga mersmak. Kanskje den gjør det for andre også.

$$\int {\mathrm{cosec}}^2(x)\mathrm{d}x$$

Ganske triviell hvis du allerede vet hvilken funksjon som har denne som derivert. Hakket mer interessant hvis du ikke vet det, eller later som.

[Mattebruker]

Standardintegral: $\int \frac{1}{si{n}^{2}x}dx$ = - cotan( x ) + C

Kan utleie denne formelen ved å innføre tangens til den halve vinkelen:

t = tan($\frac{x}{2}$ ) $\Rightarrow$ dx = $\frac{2dt}{1+t^2}$

Integranden $\frac{1}{si{n}^{2}x}$ = $\frac{(si{n}^2\frac{x}{2}+co{s}^2\frac{x}{2}{)}^2}{(2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}{)}^2}$ = $\frac{(1+t^2{)}^2}{(2t{)}^2}$

Den nye variablen t gir

$\int \frac{1}{si{n}^{2}x}$dx = $\int$ $\frac{(1+t^2{)}^2}{(2t{)}^2}$$\cdot$ $\frac{2dt}{1+t^2}$dt = $\int \frac{1+t^2}{2t}$ dt = $\frac{1}{2}$( t + $\frac{1}{t}$ ) dt

[Mattebruker]

Framhald...……………………...………..

$\int \frac{1+t^2}{2t^2}$ dt = $\frac{1}{2}$$\int (1+\frac{1}{t^2})$dt

= $\frac{1}{2}$( t - $\frac{1}{t}$ ) = ( sett inn for t ) $\frac{1}{2}$( tan$\frac{x}{2}$ - $\frac{1}{tan\frac{x}{2}}$ = $\frac{1}{2}$( $\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}$ - $\frac{cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$ ) =$\frac{1}{2}$( $\frac{si{n}^2\frac{x}{2}-co{s}^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}}$ = - $\frac{cos(x)}{sin(x)}$ = -cotan( x ) + C

[Janhaa]

Jeg har alltid vært dårlig på integrasjon, spesielt med trig-funksjoner, men denne ga mersmak. Kanskje den gjør det for andre også.

$$\int {\mathrm{cosec}}^2(x)\mathrm{d}x$$

Ganske triviell hvis du allerede vet hvilken funksjon som har denne som derivert. Hakket mer interessant hvis du ikke vet det, eller later som.

eller:

$$\begin{gathered} I=\int \frac{1}{{\sin }^2(x)}dx=\int {\csc }^2(x)dx \\ I=\int \frac{\frac{1}{{\cos }^2(x)}}{\frac{{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}}dx=\int \frac{\frac{1}{{\cos }^2(x)}}{{\tan }^2(x)}dx \\ u=\tan (x)=>du=\frac{1}{{\cos }^2(x)}dx \\ I=\int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+c=-\frac{1}{\tan (x)}+c=-\cot (x)+c \end{gathered}$$

[Kay]

$\int {\text{cosec}}^2(x)dx=\int \text{co}\int {\sec }^2(x)dx$

Hvis vi så utnytter rotasjonsteoremet med ca. 90 grader og lar integrasjonstegnet bli kortere på det første integralet får vi ved dårlig syn-teoremet at

$\int \text{co}\int {\sec }^2(x)dx=-\text{co}\int se{c}^2(x)dx=-\text{cotan}(x)+C{}_{◻}$