Dobbeltintegral

[Matteliten]

Jeg har et dobbeltintegral her som jeg er litt usikker på hvordan jeg skal løse.

Jeg har et område D i xy-planet, gitt ved ulikhetene

x^2 + y^2 <= 4
x^2 + y^2 >=1

Bestem dobbeltintegralet til ln(x^2 + y^2)dA på dette området.

Aner ikke hva jeg bør gjøre

[Solar Plexsus]

Du må innføre polare koordinater, dvs. x=r*cosθ og y=r*sinθ. Da er området gitt ved ulikhetene

1 ≤ x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] ≤ 4

ekvivalent med

1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2[pi][/pi].

Dermed blir

[itgl][/itgl][itgl][/itgl] ln(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) dA

= [itgl][/itgl]_(θ=0->2[pi][/pi]) [itgl][/itgl]_(r=1->2) ln(r[sup]2[/sup]) r dr dθ

= [itgl][/itgl]_(θ=0->2[pi][/pi]) [itgl][/itgl]_(r=1->2) 2r ln(r) dr dθ

= [itgl][/itgl]_(θ=0->2[pi][/pi]) [r[sup]2[/sup] (ln(r) - 1/2)]_(r=1->2) dθ (anvender delvis integrasjon)

= [itgl][/itgl]_(θ=0->2[pi][/pi]) 4*(ln(2) - 1/2) - 1*(ln(1) - 1/2)dθ

= [itgl][/itgl]_(θ=0->2[pi][/pi]) 4*ln(2) - 3/2 dθ

= [4*ln(2) - 3/2]_(θ=0->2[pi][/pi])

= (8*ln(2) - 3)[pi][/pi].

[Matteliten]

Ahh - tusen takk for hjelpen