Estimere feil
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Guest
Sliter litt med å esitimere feilen jeg har gjort nå jeg har reknet ut x[sup]1/3[/sup] nær 8, hvor jeg skal finne en tilnærming av 9[sup]1/3[/sup] (Taylorpolynom). Har formelen for error, men skjønner ikke helt hvordan man bruker den.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
Restleddet til Taylor-polynomet P[sub]n[/sub](x) til f(x) av n'te grad omkring x=a er
(1) R[sub]n[/sub](x) = f(x) - P[sub]n[/sub](x) = f[sup](n+1)[/sup](z) (x - a)[sup]n+1[/sup] / (n + 1)!.
der z er et tall mellom a og x. I dette tilfellet er f(x) = x[sup]1/3[/sup], a=8 og x=9. Innsatt i (1) gir dette
R[sub]n[/sub](x) = d(z[sup]1/3[/sup])/dz[sup]n+1[/sup] (9 - 8)[sup]n+1[/sup] / (n + 1)!
= (-1)[sup]n[/sup]*2*5*...*(3n - 1)*z[sup]-(3n + 2)/3[/sup]*1[sup]n+1[/sup] / [3[sup]n+1[/sup]*(n + 1)!]
≤ (-1)[sup]n[/sup]*2*5*...*(3n - 1)*8[sup]-(3n + 2)/3[/sup] / [3[sup]n+1[/sup]*(n + 1)!]
(fordi z €<8,9> og z[sup]-(3n + 2)/3[/sup] avtar i dette intervallet)
= (-1)[sup]n[/sup]*2*5*...*(3n - 1) / [2[sup]3n + 2[/sup]*3[sup]n+1[/sup]*(n + 1)!] (i.o.m. at 8[sup]-1/3[/sup] = (2[sup]3[/sup])[sup]-1/3[/sup] = 2[sup]-1[/sup] = 1/2).
(1) R[sub]n[/sub](x) = f(x) - P[sub]n[/sub](x) = f[sup](n+1)[/sup](z) (x - a)[sup]n+1[/sup] / (n + 1)!.
der z er et tall mellom a og x. I dette tilfellet er f(x) = x[sup]1/3[/sup], a=8 og x=9. Innsatt i (1) gir dette
R[sub]n[/sub](x) = d(z[sup]1/3[/sup])/dz[sup]n+1[/sup] (9 - 8)[sup]n+1[/sup] / (n + 1)!
= (-1)[sup]n[/sup]*2*5*...*(3n - 1)*z[sup]-(3n + 2)/3[/sup]*1[sup]n+1[/sup] / [3[sup]n+1[/sup]*(n + 1)!]
≤ (-1)[sup]n[/sup]*2*5*...*(3n - 1)*8[sup]-(3n + 2)/3[/sup] / [3[sup]n+1[/sup]*(n + 1)!]
(fordi z €<8,9> og z[sup]-(3n + 2)/3[/sup] avtar i dette intervallet)
= (-1)[sup]n[/sup]*2*5*...*(3n - 1) / [2[sup]3n + 2[/sup]*3[sup]n+1[/sup]*(n + 1)!] (i.o.m. at 8[sup]-1/3[/sup] = (2[sup]3[/sup])[sup]-1/3[/sup] = 2[sup]-1[/sup] = 1/2).