Deriverbar

[Bunnkvarken]

Hvordan kan jeg vise at f(x)={(1/x^3)*e^-1/x^2, når x≠0, 0 når x=0 er deriverbar i 0. Videre hvordan finner man så f’(0)?

[fish]

Jeg antar at du mener $f(x)=\frac{1}{x^3}{e}^{-\frac{1}{x^2}}$. Hvis $f^{\prime }(0)$ skal eksistere, må den bli lik grenseverdien
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^4}$. Hvis du setter $t=1/x^2$, kan grenseverdien også skrives
$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{t^2}{e^t}$, som lar seg behandle på vanlig måte vha for eksempel Hospitals regel.

[alexfefun1]

For å vise at funksjonen $f(x)$ er deriverbar i $x=0$, må vi sjekke om grensen for differenskvotienten eksisterer når $x$ nærmer seg 0. Differenskvotienten for $f$ i $x=0$ er gitt ved:

$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(h)-f(0)}{h}$

Vi er gitt at $f(0)=0$. For $h\ne 0$, har vi $f(h)=\frac{1}{h^3}{e}^{-1/h^2}$. Dermed blir uttrykket for $f^{\prime }(0)$:

$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{h^3}{e}^{-1/h^2}-0}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h^4}{e}^{-1/h^2}$

For å evaluere denne grensen, kan vi gjøre en substitusjon. La $t=1/h$. Når $h\to 0$, vil $|t|\to \mathrm{\infty }$. Da blir $h^4=1/t^4$ og $1/h^2=t^2$. Dermed kan vi skrive grensen som:

$f^{\prime }(0)=\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{t}^4{e}^{-t^2}=\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{t^4}{e^{t^2}}$

Dette er en grense av formen $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, så vi kan bruke L'Hôpitals regel. Vi må bruke regelen flere ganger. La oss betrakte grensen når $t\to \mathrm{\infty }$.

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{t^4}{e^{t^2}}$

Anvender L'Hôpitals regel første gang:
$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4t^3}{2t{e}^{t^2}}=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2t^2}{e^{t^2}}$

Anvender L'Hôpitals regel andre gang:
$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4t}{2t{e}^{t^2}}=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{e^{t^2}}$

Når $t\to \mathrm{\infty }$, går $e^{t^2}\to \mathrm{\infty }$, så grensen blir $\frac{2}{\mathrm{\infty }}=0$.

Vi må også sjekke grensen når $t\to -\mathrm{\infty }$. Siden $t^4$ og $e^{t^2}$ begge er like for $t$ og $-t$, vil grensen være den samme:

$\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{t^4}{e^{t^2}}=0$

Siden grensen fra begge sider er 0, eksisterer grensenai-hug.org :

$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(h)-f(0)}{h}=0$

Dette viser at funksjonen $f(x)$ er deriverbar i $x=0$, og verdien av den deriverte i $x=0$ er $f^{\prime }(0)=0$.

**Oppsummering av stegene:**

1. Bruk definisjonen av den deriverte i et punkt: $f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(h)-f(0)}{h}$.
2. Sett inn de gitte verdiene $f(0)=0$ og $f(h)=\frac{1}{h^3}{e}^{-1/h^2}$ for $h\ne 0$.
3. Forenkle uttrykket til $f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h^4}{e}^{-1/h^2}$.
4. Utfør substitusjonen $t=1/h$ for å få grensen $\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{t^4}{e^{t^2}}$.
5. Bruk L'Hôpitals regel flere ganger for å evaluere grensen.
6. Konkluder at grensen er 0, som betyr at $f(x)$ er deriverbar i $x=0$ og $f^{\prime }(0)=0$.

Dermed har vi vist at $f(x)$ er deriverbar i $0$, og vi har funnet at $f^{\prime }(0)=0$.

[alexfefun1]

and also thank you help me a a lot about my gamepad tester project