Finne funksjonsuttrykket til en tredjegradsfunksjon

[alexa.norge]

Hei, vet noen hvordan man finner funksjonsutrykket til denne tredjegradsfunksjonen? (Bilde vedlagt).
Dette er oppgave 3.15 i Sinus R1.
Fasiten bak i boka er: f(x) = -(x^3/4)+(2x^2)-4x+2

[SveinR]

Er det "Del 1" eller "Del 2"? Altså, er CAS lov å bruke eller ikke? For det vil endre litt på hvordan vi kan gå frem.

[alexa.norge]

Er det "Del 1" eller "Del 2"? Altså, er CAS lov å bruke eller ikke? For det vil endre litt på hvordan vi kan gå frem.

Det er ikke en eksamensoppgave, så det står ingenting om hjelpemidler. Jeg tror oppgaven vil at man skal løse den uten hjelpemidler

[SveinR]

Ok. Det første vi kan se etter er nullpunkter. Vi kan iallefal se ett nullpunkt ($x=2$). Vi kan også se punktet $(4,2)$, som attpåtil er et toppunkt. Krysningen med $y$-aksen er $2$ så da vet vi konstantleddet. Dermed har vi:

$f(2)=0$ (nullpunktet)
$f(4)=2$ (toppunktet)
$f^{\prime }(4)=0$ (toppunktet)
$f(0)=2$ (skjæring med $y$-aksen)

Nå har vi altså fire informasjoner, som bør holde til å bestemme en tredjegradsfunksjon, som generelt kan uttrykkes $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.

Kommer du videre da? I CAS kunne vi greit løst dette som et likningssett, men for hånd blir det litt mer krøkkete (men fortsatt mulig!).

[alexa.norge]

Ok. Det første vi kan se etter er nullpunkter. Vi kan iallefal se ett nullpunkt ($x=2$). Vi kan også se punktet $(4,2)$, som attpåtil er et toppunkt. Krysningen med $y$-aksen er $2$ så da vet vi konstantleddet. Dermed har vi:

$f(2)=0$ (nullpunktet)
$f(4)=2$ (toppunktet)
$f^{\prime }(4)=0$ (toppunktet)
$f(2)=0$ (skjæring med $y$-aksen)

Nå har vi altså fire informasjoner, som bør holde til å bestemme en tredjegradsfunksjon, som generelt kan uttrykkes $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.

Kommer du videre da? I CAS kunne vi greit løst dette som et likningssett, men for hånd blir det litt mer krøkkete (men fortsatt mulig!).

Jeg prøvde, men jeg kommer ikke videre

[SveinR]

Den enkleste å bestemme er fra skjæring med $y$-aksen. Siden den er $2$, ved vi at konstantleddet $d=2$. Da har vi

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+2$

Så kan vi prøve å lage likninger basert på de andre opplysningene:

Nullpunkt: $f(2)=0\Rightarrow a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c\cdot 2+2=0\Rightarrow 8a+4b+2c+2=0$
Toppunkt: $f(4)=2\Rightarrow a\cdot 4^3+b\cdot 4^2+c\cdot 4+2=2\Rightarrow 64a+16b+4c=0$

For infoen om den deriverte må vi først derivere funksjonen. Derivasjonsreglene gir:
$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$
Da får vi fra infoen om toppunktet: $f^{\prime }(4)=0\Rightarrow 3\cdot a\cdot 4^2+2\cdot b\cdot 4+c=0\Rightarrow 48a+8b+c=0$

Da har vi til slutt fått tre likninger med tre ukjente å bestemme. Det er normalt ikke noe man driver med i R1, så jeg lurer på om ikke oppgaven er tenkt å gjøre i CAS egentlig. Men for å løse den for hånd kan vi gå frem som vi gjør med vanlige likningssett med to ukjente, altså brukt innsettingsmetoden f.eks.

[alexa.norge]

Den enkleste å bestemme er fra skjæring med $y$-aksen. Siden den er $2$, ved vi at konstantleddet $d=2$. Da har vi

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+2$

Så kan vi prøve å lage likninger basert på de andre opplysningene:

Nullpunkt: $f(2)=0\Rightarrow a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c\cdot 2+2=0\Rightarrow 8a+4b+2c+2=0$
Toppunkt: $f(4)=2\Rightarrow a\cdot 4^3+b\cdot 4^2+c\cdot 4+2=2\Rightarrow 64a+16b+4c=0$

For infoen om den deriverte må vi først derivere funksjonen. Derivasjonsreglene gir:
$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$
Da får vi fra infoen om toppunktet: $f^{\prime }(4)=0\Rightarrow 3\cdot a\cdot 4^2+2\cdot b\cdot 4+c=0\Rightarrow 48a+8b+c=0$

Da har vi til slutt fått tre likninger med tre ukjente å bestemme. Det er normalt ikke noe man driver med i R1, så jeg lurer på om ikke oppgaven er tenkt å gjøre i CAS egentlig. Men for å løse den for hånd kan vi gå frem som vi gjør med vanlige likningssett med to ukjente, altså brukt innsettingsmetoden f.eks.

Tusen takk! Jeg klarte nå å løse den i CAS. Du har nok rett i at den skal løses i CAS, men hvordan løser man likningssett med tre ukjente for hånd?

[SveinR]

Likningssettet vårt er:

$I:8a+4b+2c+2=0$
$II:64a+16b+4c=0$
$III:48a+8b+c=0$

Én mulighet til fremgangsmåte:

• Løser $III$ for $c$: $c=-48a-8b$
• Setter inn i $I$: $8a+4b+2(-48a-8b)+2=0\Rightarrow -88a-12b+2=0$
• Løser denne for $b$: $b=-\frac{88}{12}a+2\Rightarrow b=-\frac{22}{3}a+2$
• Setter både uttrykkene for $b$ og $c$ inn i $II$, osv.

[alexa.norge]

Likningssettet vårt er:

$I:8a+4b+2c+2=0$
$II:64a+16b+4c=0$
$III:48a+8b+c=0$

Én mulighet til fremgangsmåte:

• Løser $III$ for $c$: $c=-48a-8b$
• Setter inn i $I$: $8a+4b+2(-48a-8b)+2=0\Rightarrow -88a-12b+2=0$
• Løser denne for $b$: $b=-\frac{88}{12}a+2\Rightarrow b=-\frac{22}{3}a+2$
• Setter både uttrykkene for $b$ og $c$ inn i $II$, osv.

Tusen takk! Jeg klarte å løse den for hånd også!