Hei! Jeg lurer på om det går ann å finne det bestemte integralet
[tex]\int_0^3{\sqrt{100x^2%20-%20288x%20+%20832,36}}[/tex]
uten hjelp av lommeregner med 3MX kunskaper?
Bestemt integral
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Guest
Vet ikke men svaret på den ubestemte intergralen er så komplisert som:
32.25*(ln(sqrt(x^2-2.88x+8.3236)+x-1.44)+0.16*(x-1.44)*sqrt(x^2-2.88x+8.3236)+C
Og hvis du skal ha heltallsvarianten av svaret blir det mye mer komplisert.
Svaret på den bestemte er ~79.3022
Alle svarene er funnet ved bruk av kalkulator.
32.25*(ln(sqrt(x^2-2.88x+8.3236)+x-1.44)+0.16*(x-1.44)*sqrt(x^2-2.88x+8.3236)+C
Og hvis du skal ha heltallsvarianten av svaret blir det mye mer komplisert.
Svaret på den bestemte er ~79.3022
Alle svarene er funnet ved bruk av kalkulator.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
Sett
[tex]I \;=\;\int_0^3 \sqrt{100x^2 \:+\: 288x \:+\: 832,36} \, dx.[/tex]
Legg merke til at
100x[sup]2[/sup] - 288x + 832,36 = (10x - 14,4)[sup]2[/sup] + 25[sup]2[/sup].
Så ved å anvende substitusjonen u = u(x) = (10x - 14,4)/25, får man at du/dx = 10/25 = 2/5 og
100x[sup]2[/sup] - 288x + 832,36 = 25[sup]2[/sup](u[sup]2[/sup] + 1).
Herav følger at
[tex] I \;=\; \int_{u(0)}^{u(3)} \sqrt{25^2(u^2 \:+\: 1)} \: \frac{5}{2} \,du \;=\; \frac{125}{2} \int_{-0,576}^{0,624} \sqrt{u^2 \:+\: 1} \, du. [/tex]
For å finne en antiderivert til kv.rot(u[sup]2[/sup] + 1), bruker vi de hyperbolske funksjonene cosh og sinh. Disse er definert som følger:
coshx = (e[sup]x[/sup] + e[sup]-x[/sup]) / 2,
sinhx = (e[sup]x[/sup] - e[sup]-x[/sup]) / 2.
Dermed har vi at
cosh[sup]2[/sup]x - sinh[sup]2[/sup]x = 1.
Så ved å velge substitusjonen v = sinh[sup]-1[/sup]u, får vi at u = sinhv. Følgelig blir
u[sup]2[/sup] + 1 = sinh[sup]2[/sup]v + 1 = cosh[sup]2[/sup]v,
dvs. at kv.rot(u[sup]2[/sup] + 1) = coshv. Videre blir du/dv = d/dv(sinhv) = coshv, i.e. du = coshv dv. Alt i alt betyr dette at
[tex]\int \sqrt{u^2 \:+\: 1} \, du \;=\: \int coshv \, (coshv\,dv) \;=\: \int cosh^2v \, dv[/tex]
[tex]=\: \int [(e^v + e^{-v})/2]^2 \, dv= \: \frac{1}{4} \int e^{2v} \:+\: e^{-2v} \:+\: 2 \, dv \;=\: \frac{e^{2v} \:-\: e^{-2v}}{8} \:+\: \frac{v}{2} \:+\: C[/tex]
[tex]= \; \frac{1}{2} \: \Big[\, \frac{e^v \:-\: e^{-v}}{2} \, \cdot \, \frac{e^v \:+\: e^{-v}}{2} \:+\: v\Big] \:+\: C \;=\; \frac{1}{2}\,(sinhv \, \cdot \, coshv \:+\: v) \:+\: C[/tex]
[tex]=\; \frac{1}{2} \: (sinhv \, \sqrt{sinh^2v \:+\: 1} \:+\: v) \:+\: C \;=\; \frac{1}{2} \: (u \, \sqrt{u^2 \:+\: 1} \:+\: sinh^{-1}u) \:+\: C[/tex]
[tex] =\; \frac{1}{2} \: \bigg[ \, u \, \sqrt{u^2 \:+\: 1} \:+\: ln(u \:+\:\sqrt{u^2 \:+\: 1}) \, \bigg] \:+\: C[/tex]
der C er en vilkårlig konstant. Dermed får vi at
[tex]I \;=\; \frac{125}{2} \int_{-0,576}^{0,624} \sqrt{u^2 \:+\: 1} \, du \;=\; \frac{125}{4} \: \bigg[ \, u \, \sqrt{u^2 \:+\: 1} \:+\: ln(u \:+\:\sqrt{u^2 \:+\: 1}) \, \bigg]_{-0,576}^{0,624}[/tex]
som gir den eksakte verdien av I.
[tex]I \;=\;\int_0^3 \sqrt{100x^2 \:+\: 288x \:+\: 832,36} \, dx.[/tex]
Legg merke til at
100x[sup]2[/sup] - 288x + 832,36 = (10x - 14,4)[sup]2[/sup] + 25[sup]2[/sup].
Så ved å anvende substitusjonen u = u(x) = (10x - 14,4)/25, får man at du/dx = 10/25 = 2/5 og
100x[sup]2[/sup] - 288x + 832,36 = 25[sup]2[/sup](u[sup]2[/sup] + 1).
Herav følger at
[tex] I \;=\; \int_{u(0)}^{u(3)} \sqrt{25^2(u^2 \:+\: 1)} \: \frac{5}{2} \,du \;=\; \frac{125}{2} \int_{-0,576}^{0,624} \sqrt{u^2 \:+\: 1} \, du. [/tex]
For å finne en antiderivert til kv.rot(u[sup]2[/sup] + 1), bruker vi de hyperbolske funksjonene cosh og sinh. Disse er definert som følger:
coshx = (e[sup]x[/sup] + e[sup]-x[/sup]) / 2,
sinhx = (e[sup]x[/sup] - e[sup]-x[/sup]) / 2.
Dermed har vi at
cosh[sup]2[/sup]x - sinh[sup]2[/sup]x = 1.
Så ved å velge substitusjonen v = sinh[sup]-1[/sup]u, får vi at u = sinhv. Følgelig blir
u[sup]2[/sup] + 1 = sinh[sup]2[/sup]v + 1 = cosh[sup]2[/sup]v,
dvs. at kv.rot(u[sup]2[/sup] + 1) = coshv. Videre blir du/dv = d/dv(sinhv) = coshv, i.e. du = coshv dv. Alt i alt betyr dette at
[tex]\int \sqrt{u^2 \:+\: 1} \, du \;=\: \int coshv \, (coshv\,dv) \;=\: \int cosh^2v \, dv[/tex]
[tex]=\: \int [(e^v + e^{-v})/2]^2 \, dv= \: \frac{1}{4} \int e^{2v} \:+\: e^{-2v} \:+\: 2 \, dv \;=\: \frac{e^{2v} \:-\: e^{-2v}}{8} \:+\: \frac{v}{2} \:+\: C[/tex]
[tex]= \; \frac{1}{2} \: \Big[\, \frac{e^v \:-\: e^{-v}}{2} \, \cdot \, \frac{e^v \:+\: e^{-v}}{2} \:+\: v\Big] \:+\: C \;=\; \frac{1}{2}\,(sinhv \, \cdot \, coshv \:+\: v) \:+\: C[/tex]
[tex]=\; \frac{1}{2} \: (sinhv \, \sqrt{sinh^2v \:+\: 1} \:+\: v) \:+\: C \;=\; \frac{1}{2} \: (u \, \sqrt{u^2 \:+\: 1} \:+\: sinh^{-1}u) \:+\: C[/tex]
[tex] =\; \frac{1}{2} \: \bigg[ \, u \, \sqrt{u^2 \:+\: 1} \:+\: ln(u \:+\:\sqrt{u^2 \:+\: 1}) \, \bigg] \:+\: C[/tex]
der C er en vilkårlig konstant. Dermed får vi at
[tex]I \;=\; \frac{125}{2} \int_{-0,576}^{0,624} \sqrt{u^2 \:+\: 1} \, du \;=\; \frac{125}{4} \: \bigg[ \, u \, \sqrt{u^2 \:+\: 1} \:+\: ln(u \:+\:\sqrt{u^2 \:+\: 1}) \, \bigg]_{-0,576}^{0,624}[/tex]
som gir den eksakte verdien av I.
-
Guest
Hehe, den utregningen krever nå vel litt mer kunnskaper på et litt høyere plan enn hva 3MX-nivået tilsier!