Likningssett

[Guest]

Hva får dere til x og y på denne?

Løs likningssettet:

1/2y-x^2+3 = 1/2x-7 og 10(x-5) = 2(x^2-y)

Takk!

[ahe753]

(I) [tex]\frac{1}{2}y-x^2+3 = \frac{1}{2}x-7[/tex]

(II) [tex]10(x-5) = 2(x^2-y)[/tex]

Skriver om ligning (II):

[tex]10x-50 = 2x^2-2y[/tex]

[tex]-2x^2+10x-50 = -2y[/tex]

[tex]y = x^2-5x+25[/tex]

Setter dette uttrykket for y inn i ligning (I):

[tex]\frac{1}{2}(x^2-5x+25)-x^2+3 = \frac{1}{2}x-7[/tex]

[tex]\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{2}-x^2+3 = \frac{1}{2}x-7[/tex]

[tex]-\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{45}{2} = 0[/tex]

Løser andregradsligningen:

[tex]x=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4*(-\frac{1}{2})*\frac{45}{2}}}{2*(-\frac{1}{2})}=\frac{3\pm sqrt{9+45}}{-1}=-3\mp sqrt{54}[/tex]

Vi har nå to x-verdier:

[tex]x_1=-3 - sqrt{54} \approx -10,35[/tex]

[tex]x_2=-3 + sqrt{54} \approx 4,35[/tex]

Setter disse verdiene inn i det uttrykket vi hadde for y:

[tex]y_1 = x_1^2-5x_1+25 = (-3 - sqrt{54})^2-5(-3 - sqrt{54})+25 = 9+6sqrt{54}+54+15+5sqrt{54}+25 = 103+11sqrt{54} \approx 183,83[/tex]

[tex]y_2 = x_2^2-5x_2+25 = (-3 + sqrt{54})^2-5(-3 + sqrt{54})+25 = 9-6sqrt{54}+54+15-5sqrt{54}+25 = 103-11sqrt{54} \approx 22,17[/tex]

Den nøyaktige løsningen blir altså

[tex](x_1 = -3 - 3sqrt{6} \; \wedge \; y_1 = 103+33sqrt{6}) \; \vee \; (x_2 = -3 + 3sqrt{6} \; \wedge \; y_2 = 103-33sqrt{6})[/tex]

og den tilnærmede løsningen blir

[tex](x_1 \approx -10,35 \; \wedge \; y_1 \approx 183,83) \; \vee \; (x_2 \approx 4,35 \; \wedge \; y_2 \approx 22,17)[/tex]