Basis

[Jon.]

Hvordan finner man basisen til en M[sub]22[/sub] matrise?
Har nemlig gitt matrisen A

Code: Select all

a b
c d

og skal verifisere at B

Code: Select all

1 1   1 0   0 -1    0 1
0 0   0 1   1  0   -1 1

er en basis for A.

[Solar Plexsus]

La

Code: Select all

M_1=[1 1], M_2=[1 0], M_3=[0 - 1], M_4=[ 0 1]              
    [0 0]      [0 1]      [1   0]      [-1 1]

være de 4 matrisene. For å bevise at disse danner en basis for, må du vise at

1) matriselikningen

x[sub]1[/sub]*M[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub]*M[sub]2[/sub] + x[sub]3[/sub]*M[sub]3[/sub] + x[sub]4[/sub]*M[sub]4[/sub] = 0[sub]22[/sub]

der 0[sub]22[/sub] er 2x2-nullmatrisa, kun har løsningen x[sub]1[/sub] = x[sub]2[/sub] = x[sub]3[/sub] = x[sub]4[/sub] = 0,

og

2) {M[sub]1[/sub], M[sub]2[/sub], M[sub]3[/sub], M[sub]4[/sub]} utspenner M[sub]22[/sub].

La oss ta disse to punktene hver for seg:

1) Matriselikningen er ekvivalent med

Code: Select all

[1  1  0 0] [x_1] = [0]
[1  0  0 1] [x_2] = [0]
[0 -1  1 0] [x_3] = [0]
[0  1 -1 1] [x_4] = [0]

Determinanten til likningssystemet koeffisientmatrisa er -1, så x[sub]1[/sub] = x[sub]2[/sub] = x[sub]3[/sub] = x[sub]4[/sub] = 0 er eneste løsning av likningssystemet.

2) Vi har at

Code: Select all

M_3 + M_4 = [0 0] = A_1,
            [0 1],

Code: Select all

M_2 - A_1 = [1 0] = A_2,
            [0 0]

Code: Select all

M_1 - A_2 = [0 1] = A_3,
            [0 0]

Code: Select all

A_3 + M_3 = [0 0] = A_4.
            [1 0]

Nå vet vi at {A[sub]1[/sub], A[sub]2[/sub], A[sub]3[/sub], A[sub]4[/sub]} er en basis for M[sub]22[/sub]. Følgelig vil også {M[sub]1[/sub], M[sub]2[/sub], M[sub]3[/sub], M[sub]4[/sub]} utspenne M[sub]22[/sub].

[Jon.]

En stor takk til deg, Solar Plexsus, for at du var så snill å gå igjennom oppgaven såpass grundig og forklarende.