Skalarprodukt

[Gjest]

Sliter en del med å regne ut vektorene p og q i en deloppgave. Noen som kan hjelpe meg litt på vei?

Oppgave:

Vi har |a| = 4, |b| = 2*kva.rot av 3, og vinkel (a, b) = 30 grader.


b) Sett p = 4a-b, og q = -2a+3b. Bestem |p| og |q|, og vinkelen mellom disse to vektorene.

Svarene skal bli: kv.rot av 172, kv.rot av 28, og vinkelen mellom blir 86.7 grader.

[Andrina]

La <,> betegne skalarproduktet du har gitt.

Da er |a|=kv.rot(<a,a>) og |b|=kv.rot(<b,b>).

Altså er <a,a>=16 og <b,b>=12.

Videre er <a,b>=|a|*|b|*cos(v), der v er vinkelen mellom a og b.

Her altså <a,b>=8*kv.rot(3)*cos(30 grad)=8*kv.rot(3)*kv.rot(3)/2

=12

Nå bruker vi at skalarproduktet er bilineært og symmetrisk. Dermed blir

|p|=kv.rot(<4a-b,4a-b>)

=kv.rot(<4a,4a>+<4a,-b>+<-b,4a>+<-b,-b>)

=kv.rot(16<a,a>-4<a,b>-4<a,b>+<b,b>)

=kv.rot(16*16-8*12+12)=kv.rot(172)=2*kv.rot(43)

|q|=kv.rot(<-2a+3b,-2a+3b>)

På samme måte som for p får vi at dette er

=kv.rot(4<a,a>-12<a,b>+9<b,b>)
=kv.rot(64-144+108)=kv.rot(28)=2*kv.rot(7)

Vinkelen mellom p og q er w hvor w er gitt ved

<p,q>=|p|*|q|*cos(w)

Beregner først <p,q>=<4a-b,-2a+3b>
=-8<a,a>+12<a,b>+2<a,b>-3<b,b>=-128+144+24-36=4

Så 4=2*kv.rot(43)*2*kv.rot(7)*cos(w)

cos(w)=1/kv.rot(7*43)=1/kv.rot(301)

dermed er w=86,69569... grader.

Håper dette ble forståelig. Ellers må du bare spørre igjen :)

[Gjest]

Tusen takk for et utfyllende godt svar! Er takknemlig for at du tok deg tid til å greie ut såpass:)