integral

[Guest]

[symbol:integral] 2/(x[sup]2[/sup]-3) dx


Noen som tar denne? jeg sliter virkelig med den, vet jeg kan sette 2 utfor integralet, men jeg har fortsatt trøbbel med den.. :\

[Solar Plexsus]

Du kan du bruke delbrøkoppspaltning, dvs. finne konstanter A og B slik at

[tex]\frac{2}{x^2 \:-\: 3} \;=\; \frac{A}{x \:-\: \sqrt{3}} \;+\; \frac{B}{x \:+\: \sqrt{3}} \;=\; \frac{A(x \:+\: \sqrt{3}) \:+\: B(x \:-\: \sqrt{3})}{(x \:-\: \sqrt{3})(x \:+\: \sqrt{3})} \;=\; \frac{(A \:+\: B)x \:+\: (A \:-\: B)\sqrt{3}}{x^2 \:-\: 3}.[/tex]

Dette medfører at A + B = 0 og (A - B)[symbol:rot]3 = 2. Altså er A = 1/ [symbol:rot]3 og B = -1/[symbol:rot]3. Herav følger at

[tex]\int \frac{2\,dx}{x^2 \:-\: 3}\;=\; \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{x \:-\: \sqrt{3}} \;-\; \frac{1}{x \:+\: \sqrt{3}} \: dx \, .[/tex]