Hei.
Lurer på om noen kan vise meg på en utfyllende og forklarende måte løsningen på denne oppgaven. (Haster.. Har eksamen på Tirsdag)
[symbol:funksjon] (x,y) = 1+10x+4y-x^2-y^2
a)
Finn de partielt deriverte til f av 1. og 2. orden.
b)
Funksjonen har et stasjonært punkt. Finn dette og avgjør hvilken type stasjonært punkt det er.
Oppgave om partielt deriverte.
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
ingentingg
- Weierstrass
- Posts: 451
- Joined: 25/08-2005 17:49
Den partielle deriverte til x, finner vi ved å derivere funksjonen m.h.p x og betrakte andre variabler som konstanter:
[tex]\frac{d}{dx}(f (x,y))= 10 - 2x[/tex]
Alt det andre forsvant siden det ikke inneholdt noen x ledd. Du kan gjøre helt tilsvarende med y og få:
[tex]\frac{d}{dy} (f (x,y)) = 4 - 2y[/tex]
Stasjonære pkt er hvor begge de partielle deriverte er lik null. I dette tilfellet blir det:
[tex] 10 - 2x = 0 \text{ og } 4-2y = 0[/tex]
[tex] x = 5 \text { og } y = 2[/tex]
Dvs at pktet (5,2) er et stasjonært pkt.
[tex]\frac{d}{dx}(f (x,y))= 10 - 2x[/tex]
Alt det andre forsvant siden det ikke inneholdt noen x ledd. Du kan gjøre helt tilsvarende med y og få:
[tex]\frac{d}{dy} (f (x,y)) = 4 - 2y[/tex]
Stasjonære pkt er hvor begge de partielle deriverte er lik null. I dette tilfellet blir det:
[tex] 10 - 2x = 0 \text{ og } 4-2y = 0[/tex]
[tex] x = 5 \text { og } y = 2[/tex]
Dvs at pktet (5,2) er et stasjonært pkt.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
a) De partiellderiverte til f av andre orden er
[symbol:diff][sup]2[/sup]f/[symbol:diff]x[sup]2[/sup] = -2 = A,
[symbol:diff][sup]2[/sup]f/[symbol:diff]y[sup]2[/sup] = -2 = C,
[symbol:diff][sup]2[/sup]f/[symbol:diff]x[symbol:diff]y = 0 = B.
b) Nå er A = -2 < 0 og
AC - B[sup]2[/sup] = (-2)*(-2) - 0[sup]2[/sup] = 4 > 0.
Ifølge andrederivasjonstesten betyr dette at f har et lokalt maksimum i det stasjonære punktet (5,2). (Ettersom f(x,y) = 30 - (x - 5)[sup]2[/sup] - (y - 2)[sup]2[/sup], ser vi at f faktisk har et globalt maksimum i (5,2)).
[symbol:diff][sup]2[/sup]f/[symbol:diff]x[sup]2[/sup] = -2 = A,
[symbol:diff][sup]2[/sup]f/[symbol:diff]y[sup]2[/sup] = -2 = C,
[symbol:diff][sup]2[/sup]f/[symbol:diff]x[symbol:diff]y = 0 = B.
b) Nå er A = -2 < 0 og
AC - B[sup]2[/sup] = (-2)*(-2) - 0[sup]2[/sup] = 4 > 0.
Ifølge andrederivasjonstesten betyr dette at f har et lokalt maksimum i det stasjonære punktet (5,2). (Ettersom f(x,y) = 30 - (x - 5)[sup]2[/sup] - (y - 2)[sup]2[/sup], ser vi at f faktisk har et globalt maksimum i (5,2)).