En nøtt
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Guest
Bruker induksjon.. men hvordan?? klarer ikke helt å å koble de 2 variablene m og n... Forslag
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
Anta at dette utsagnet ikke er sant, dvs. at det finnes to heltall m og n slik at
[tex](1) \;\; | \, \sqrt{3} \:-\: \textstyle{\frac{m}{n}} \,| \; < \; \textstyle{\frac{1}{5n^2}}.[/tex]
Ulikheten (1) er ekvivalent med
[tex]\textstyle{\frac{m}{n}} \:-\: \textstyle{\frac{1}{5n^2}} \; < \; \sqrt{3} \; < \; \textstyle{\frac{m}{n}} \:+\: \textstyle{\frac{1}{5n^2}}\,,[/tex]
som gir følgende rekke av implikasjoner:
[tex](\textstyle{\frac{5mn \:-\: 1}{5n^2}})^2 \; < \; (\sqrt{3})^2 \; < \; (\textstyle{\frac{5mn \:+\: 1}{5n^2}})^2[/tex]
[tex]25m^2n^2 \:-\: 10mn \:+\: 1 \; < \; 75n^4 \; < \; 25m^2n^2 \:+\: 10mn \:+\: 1[/tex]
[tex]25m^2n^2 \:-\: 10mn \; < \; 75n^4 \; \leq \; 25m^2n^2 \:+\: 10mn [/tex]
[tex]-10mn \; \leq \; 25m^2n^2 \:-\: 75n^4 \; < \; 10mn[/tex]
[tex]|\, \textstyle{\frac{25m^2n^2 \:-\: 75n^4}{25n^2}} \,| \; \leq \; \textstyle{\frac{10mn}{25n^2}}[/tex]
[tex](2) \;\; |\, m^2 \:-\: 3n^2 \,| \; \leq \; \textstyle{\frac{2m}{5n}}.[/tex]
Ifølge (1) må
[tex]| \, \sqrt{3} \:-\: \textstyle{\frac{m}{n}} \,| \; < \; \textstyle{\frac{1}{5n^2}} \; \leq \; \textstyle{\frac{1}{5}}\,,[/tex]
som igjen betyr at
[tex]\textstyle{\frac{m}{n}} \; < \; \sqrt{3} \:+\: \textstyle{\frac{1}{5}} \; < \; 1,8 \:+\: 0,2 \;=\; 2. [/tex]
Ergo må
[tex]\textstyle{\frac{2m}{5n}} \:<\: 2 \, \cdot \, \textstyle{\frac{2}{5}} \:= \: \textstyle{\frac{4}{5}} \;<\; 1,[/tex]
som sammenholdt med (2) gir
[tex](3) \;\; |\, m^2 \:-\: 3n^2 \,| \; < \; 1.[/tex]
Ettersom m og n er heltall, må også [tex]m^2 \:-\: 3n^2[/tex] være et heltall. Dette faktum kombinert med (3) medfører at [tex]m^2 \:-\: 3n^2 \: = \: 0[/tex], i.e. [tex]|\textstyle{\frac{m}{n}}| \: = \: \sqrt{3}.[/tex] Dette er umulig i.o.m. at [tex]\sqrt{3}[/tex] er et irrasjonalt tall. Denne motsigelsen innebærer at antagelsen (1) er usann. q.e.d.
[tex](1) \;\; | \, \sqrt{3} \:-\: \textstyle{\frac{m}{n}} \,| \; < \; \textstyle{\frac{1}{5n^2}}.[/tex]
Ulikheten (1) er ekvivalent med
[tex]\textstyle{\frac{m}{n}} \:-\: \textstyle{\frac{1}{5n^2}} \; < \; \sqrt{3} \; < \; \textstyle{\frac{m}{n}} \:+\: \textstyle{\frac{1}{5n^2}}\,,[/tex]
som gir følgende rekke av implikasjoner:
[tex](\textstyle{\frac{5mn \:-\: 1}{5n^2}})^2 \; < \; (\sqrt{3})^2 \; < \; (\textstyle{\frac{5mn \:+\: 1}{5n^2}})^2[/tex]
[tex]25m^2n^2 \:-\: 10mn \:+\: 1 \; < \; 75n^4 \; < \; 25m^2n^2 \:+\: 10mn \:+\: 1[/tex]
[tex]25m^2n^2 \:-\: 10mn \; < \; 75n^4 \; \leq \; 25m^2n^2 \:+\: 10mn [/tex]
[tex]-10mn \; \leq \; 25m^2n^2 \:-\: 75n^4 \; < \; 10mn[/tex]
[tex]|\, \textstyle{\frac{25m^2n^2 \:-\: 75n^4}{25n^2}} \,| \; \leq \; \textstyle{\frac{10mn}{25n^2}}[/tex]
[tex](2) \;\; |\, m^2 \:-\: 3n^2 \,| \; \leq \; \textstyle{\frac{2m}{5n}}.[/tex]
Ifølge (1) må
[tex]| \, \sqrt{3} \:-\: \textstyle{\frac{m}{n}} \,| \; < \; \textstyle{\frac{1}{5n^2}} \; \leq \; \textstyle{\frac{1}{5}}\,,[/tex]
som igjen betyr at
[tex]\textstyle{\frac{m}{n}} \; < \; \sqrt{3} \:+\: \textstyle{\frac{1}{5}} \; < \; 1,8 \:+\: 0,2 \;=\; 2. [/tex]
Ergo må
[tex]\textstyle{\frac{2m}{5n}} \:<\: 2 \, \cdot \, \textstyle{\frac{2}{5}} \:= \: \textstyle{\frac{4}{5}} \;<\; 1,[/tex]
som sammenholdt med (2) gir
[tex](3) \;\; |\, m^2 \:-\: 3n^2 \,| \; < \; 1.[/tex]
Ettersom m og n er heltall, må også [tex]m^2 \:-\: 3n^2[/tex] være et heltall. Dette faktum kombinert med (3) medfører at [tex]m^2 \:-\: 3n^2 \: = \: 0[/tex], i.e. [tex]|\textstyle{\frac{m}{n}}| \: = \: \sqrt{3}.[/tex] Dette er umulig i.o.m. at [tex]\sqrt{3}[/tex] er et irrasjonalt tall. Denne motsigelsen innebærer at antagelsen (1) er usann. q.e.d.