Hei!
Kom til å tenke på ei oppgåve:
Kva om ein kastar 4 terningar og tar bort den terningen som har høgast verdi. Så legg ein saman summen av dei tre andre. Kva vil då forventningsverdien til denne summen bli? Kan eg også få ei generell løysing? Korleis løyser ein slike oppgåver?
En kastar 4 terningar, og tar bort en...
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
La S angi summen av de tre minste terningene. Du må først finne sannsynlighetsfordelingen til S, dvs. for hver mulige sum må du finne sannsynligheten for å få akkurat den summen.
P(S=3) = P(3 av 4 er enere) + P (alle er enere) = 4 * (1/6)^3 * (5/6) + (1/6)^4 = 21/(6^4) = 21/1296 = 7/432
P(S=4) = P(2 enere, 1 toer og 1 terning større enn eller lik 2) = ...
.
.
.
P(S=18) = P(alle er seksere) = (1/6)^4 = 1/1296
Forventingsverdien er da [symbol:sum]s*P(S=s) = 3*P(S=3)+4*P(S=4)+...+18*P(S=18).
Sannsynligheten for summer mellom 3 og 18 er ikke like lette å regne ut, så for å finne de forskjellige sannsynlighetene kan du først skrive opp alle mulige kombinasjoner av tre terninger som gir hver av de mulige summene:
3: 1+1+1
4: 2+1+1
5: 3+1+1, 2+2+1
6: 4+1+1, 3+2+1, 2+2+2
7: 5+1+1, 4+2+1, 3+2+2
osv.
Finn så antall mulige kombinasjoner av fire terninger som gir hver av de mulige summene (etter bortvalg av den største):
3: 6 kombinasjoner (1+1+1+1, 1+1+1+2, ..., 1+1+1+6)
4: 5 kombinasjoner (2+1+1+2, 2+1+1+3, ..., 2+1+1+6)
Hvis det største tallet i en trippel er n, må den fjerde terningen være større enn eller lik n, ellers vil ikke trippelen bestå av de tre minste terningene. Ser at hver trippel fra forrige avsnitt gir et visst antall kombinasjoner. Det er nok å se på det største tallet i trippelen for å se hvor mange.
5: første trippel gir 4 kombinasjoner og andre trippel 5 kombinasjoner, så til sammen 9 kombinasjoner.
6: 3 + 4 + 5 = 12 kombinasjoner.
7: 2 + 3 + 4 = 9 kombinasjoner.
osv.
Kastingen av terningene kan vi se på som en vilkårlig uttrekning av fire av 24 elementer (seks enere, seks toere, . ..). Antall kombinasjoner av fire av 24 er 24!/(4!20!). Så sannsynlighetsfordelingen er:
P(S=3) = (antall kombinasjoner som gjør at summen av de tre minste terningene blir 3) / (24!/(4!20!))
osv.
P(S=3) = P(3 av 4 er enere) + P (alle er enere) = 4 * (1/6)^3 * (5/6) + (1/6)^4 = 21/(6^4) = 21/1296 = 7/432
P(S=4) = P(2 enere, 1 toer og 1 terning større enn eller lik 2) = ...
.
.
.
P(S=18) = P(alle er seksere) = (1/6)^4 = 1/1296
Forventingsverdien er da [symbol:sum]s*P(S=s) = 3*P(S=3)+4*P(S=4)+...+18*P(S=18).
Sannsynligheten for summer mellom 3 og 18 er ikke like lette å regne ut, så for å finne de forskjellige sannsynlighetene kan du først skrive opp alle mulige kombinasjoner av tre terninger som gir hver av de mulige summene:
3: 1+1+1
4: 2+1+1
5: 3+1+1, 2+2+1
6: 4+1+1, 3+2+1, 2+2+2
7: 5+1+1, 4+2+1, 3+2+2
osv.
Finn så antall mulige kombinasjoner av fire terninger som gir hver av de mulige summene (etter bortvalg av den største):
3: 6 kombinasjoner (1+1+1+1, 1+1+1+2, ..., 1+1+1+6)
4: 5 kombinasjoner (2+1+1+2, 2+1+1+3, ..., 2+1+1+6)
Hvis det største tallet i en trippel er n, må den fjerde terningen være større enn eller lik n, ellers vil ikke trippelen bestå av de tre minste terningene. Ser at hver trippel fra forrige avsnitt gir et visst antall kombinasjoner. Det er nok å se på det største tallet i trippelen for å se hvor mange.
5: første trippel gir 4 kombinasjoner og andre trippel 5 kombinasjoner, så til sammen 9 kombinasjoner.
6: 3 + 4 + 5 = 12 kombinasjoner.
7: 2 + 3 + 4 = 9 kombinasjoner.
osv.
Kastingen av terningene kan vi se på som en vilkårlig uttrekning av fire av 24 elementer (seks enere, seks toere, . ..). Antall kombinasjoner av fire av 24 er 24!/(4!20!). Så sannsynlighetsfordelingen er:
P(S=3) = (antall kombinasjoner som gjør at summen av de tre minste terningene blir 3) / (24!/(4!20!))
osv.
-
Matematikkk
- Cayley
- Innlegg: 88
- Registrert: 21/07-2004 22:01
- Sted: Trondheim
hehe, såpass mykje arbeid å rekne det ut.
Takk for flott svar, eg forstod alt!
Eg hadde håpa på at det fanst en mykje enklare måte å rekne det ut på. Men dinna måten er det ganske mykje styr med. Nei, då trur eg nesten at eg helde meg til programmeringsmetoden. Den er nok en del kjappare:)
Takk for flott svar, eg forstod alt!
Eg hadde håpa på at det fanst en mykje enklare måte å rekne det ut på. Men dinna måten er det ganske mykje styr med. Nei, då trur eg nesten at eg helde meg til programmeringsmetoden. Den er nok en del kjappare:)