Diffligninger

[elstrom]

Fikk en oppgave som sier:

En melkekartong der temperaturen i melken var 6'C, ble stående på kjøkkenbenken i 2 timer. Da var temperaturen steget til 13'C. Lufttemperaturen i kjøkkenet var 20'C. Vi regner med at Newtons avkjørligs/oppvarmingslov gjelder, det vil si at temperaturendringen per tidsenhet er proposjonal med differansen mellom lufttemperaturen og temperaturen i melken.

Still opp en diffrensiallikning for temperaturen T i melken som funksjon av tiden t, og vis ved regning at den har en løsning på formen

T(t)=20 + Be[sup]-kt[/sup]

Finn konstantene B og k.


Slik har vi tenkt:
For meg ligner likningen Type I likning, men jeg finner ikke en funksjonabel måte å stille den opp på formen dT/dt=aT+b.

Konstantene finner vi ved å sette inn T(0)=6 for å finne B, så T(2)=13 fo å finne k. Finner da B=-14 og k=(ln0,5)/-2.

Etter å ha knotet en stund fikk vi fasiten: dT/dy=k(20-T), altså en Type II-likning. Om dette er riktig, hvorfor/hvordan kan den generelle løsningen skrives T(t)=20 + Be[sup]-kt[/sup]? Fasiten får også at B=-14, men at k=(ln0,5)/2

Noen som kan hjelpe meg?

[daofeishi]

La T være temperaturen til melken, t tid og L lufttemperaturen.
Vi vet at
[tex]\frac{d T}{d t} = k(L -T) \\[/tex]
[tex]\int \frac{d T}{L-T}= \int k dt[/tex]
[tex]- \ln |L - T| = kt + c[/tex]
[tex]T = L - Ce^{-kt} = 20 - Ce^{-kt}[/tex] (Der [tex]C = e^{-c}[/tex])

Dermed er det bare å evaluere dette for verdiene oppgitt i oppgaven.
[tex] T(0) = 6 \Rightarrow 20 - C = 6 \Rightarrow C = 14 \\ T(2) = 13 \Rightarrow 20 - 14e^{-2k} = 13 \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{2}[/tex]

Dermed får vi:
[tex]T(t) = 20 - 14e^{-\frac{\ln 2}{2}t} = 20-14 \cdot 2^{-\frac{t}{2}}[/tex]