Egenverdilikning for hermitsk matrise

[djs]

Jeg skal skrive opp egenverdilikningen til A (som er hermitsk) og løse den.

A =

Code: Select all

a b
c d

[tex]det (I \lambda-A)= \ \lambda^2 -\lambda d - \lambda a + ad - cd = 0[/tex]

Der stopper det.

[Solar Plexsus]

Husk at dersom den komplekse 2x2-matrise A er hermittisk, så må a og d være reelle tall og b og c hverandres kompleks konjungerte, dvs. at [tex]\overline{c} = b[/tex] og [tex]\overline{b} = c.[/tex] Dermed blir den karakteristiske polynomet til A

[tex](\lambda \:-\: a)(\lambda \:-\: d) \:-\: bc \;=\; \lambda^2 \:-\: (a \:+\: d)\lambda \:+\: ad \:-\: b\overline{b} \;=\; \lambda^2 \:-\: (a \:+\: d)\lambda \:+\: ad \:-\: |b|^2.[/tex]

Dermed blir (de reelle) egenverdiene til A

[tex]\lambda \;=\; \frac{a \:+\: d \:+\: \sqrt{(a \:-\: d)^2 \:+\: 4|b|^2}}{2}. [/tex]

NB: |b| betyr absoluttverdien av (det komplekse) tallet b.