Hei sliter litt med dette integrasjonsuttrykket. Det skal løses ved delbrøksoppspalting. Fint med grundige forklaringer underveis.
[symbol:integral] 2x+1/x^2 -9
Delbrøksoppspalting
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Integranden [tex]\frac{{{\rm 2x + 1}}}{{{\rm x}^{\rm 2} {\rm } - {\rm 9}}}[/tex] kan omskrives til to delbrøker:
[tex]\frac{{{\rm 2x + 1}}}{{{\rm x}^{\rm 2} {\rm } - {\rm 9}}} = \frac{{A}}{{x + 3}} + \frac{B}{{x - 3}} = \frac{{A(x - 3)}}{{(x + 3)(x - 3)}} + \frac{{B(x + 3)}}{{(x + 3)(x - 3)}} = \frac{{Ax - 3A}}{{(x + 3)(x - 3)}} + \frac{{Bx + 3B}}{{(x + 3)(x - 3)}} = \frac{{(A + B)x + ( - 3A + 3B)}}{{x^2 - 9}}[/tex]
Dette gir likningsettet:
[tex]A + B = 1[/tex]
[tex]-3A+3B=1[/tex]
Som har løsningene:
[tex]A = \frac{5}{6} [/tex] og [tex]B = \frac{7}{6}[/tex]
Dette gjør at integralet kan skrives om til:
[tex]\int {\frac{{2x + 1}}{{x^2 - 9}}dx = } \int \left({\frac{{\frac{5}{6}}}{{x + 3}} + \frac{{\frac{7}{6}}}{{x - 3}}\right)dx = \frac{5}{6}\int {\frac{1}{{x + 3}}dx + \frac{7}{6}\int {\frac{1}{{x - 3}}} dx = } \underline{\underline {\frac{5}{6}\ln |x + 3| + \frac{7}{6}\ln |x - 3| + C}}[/tex]
[tex]\frac{{{\rm 2x + 1}}}{{{\rm x}^{\rm 2} {\rm } - {\rm 9}}} = \frac{{A}}{{x + 3}} + \frac{B}{{x - 3}} = \frac{{A(x - 3)}}{{(x + 3)(x - 3)}} + \frac{{B(x + 3)}}{{(x + 3)(x - 3)}} = \frac{{Ax - 3A}}{{(x + 3)(x - 3)}} + \frac{{Bx + 3B}}{{(x + 3)(x - 3)}} = \frac{{(A + B)x + ( - 3A + 3B)}}{{x^2 - 9}}[/tex]
Dette gir likningsettet:
[tex]A + B = 1[/tex]
[tex]-3A+3B=1[/tex]
Som har løsningene:
[tex]A = \frac{5}{6} [/tex] og [tex]B = \frac{7}{6}[/tex]
Dette gjør at integralet kan skrives om til:
[tex]\int {\frac{{2x + 1}}{{x^2 - 9}}dx = } \int \left({\frac{{\frac{5}{6}}}{{x + 3}} + \frac{{\frac{7}{6}}}{{x - 3}}\right)dx = \frac{5}{6}\int {\frac{1}{{x + 3}}dx + \frac{7}{6}\int {\frac{1}{{x - 3}}} dx = } \underline{\underline {\frac{5}{6}\ln |x + 3| + \frac{7}{6}\ln |x - 3| + C}}[/tex]