Substitusjon / delbrøksoppspaltning

[al-Khwarizmi]

Har her en oppgave jeg undrer litt på.. lurer på om det finnes andre måter å løse denne (om jeg har løst den riktig da)

[symbol:integral] (y^3+y) / [symbol:rot] (1+y^2) dy

Tar tak i denne på følgende måte:

[symbol:integral] (y^3+y) / [symbol:rot] (1+y^2) dy = [symbol:integral] y^3/[symbol:rot] (1+y^2) dy + [symbol:integral] y/[symbol:rot] (1+y^2) dy

[symbol:integral] y^3/[symbol:rot] (1+y^2) dy
setter u=1+y^2 <=> y(u-1)= y^3, (u-1)du = dy

[symbol:integral] (u-1)/ [symbol:rot] u du ....

og

[symbol:integral] y/[symbol:rot] (1+y^2) dy

=1/2 [symbol:integral] 1/ [symbol:rot] u du ....

Noen kommentarer...??

På forhånd takk

[ingentingg]

Her er en litt enklere måte:
[tex]\int \frac{y^3+y}{\sqrt{1+y^2}} dy \ = \ \int \frac{y(y^2+1)}{\sqrt{1+y^2}} dy \\ u = y^2 +1 \\ \frac{du}{dy} = 2y \\ \int \frac{y(y^2+1)}{\sqrt{1+y^2}} dy \ = \ \frac12 \int \frac{u}{\sqrt{u}} du \ = \ \frac12 \int \sqrt{u} = \frac13 u^{\frac32} + C[/tex]

[Janhaa]

Har her en oppgave jeg undrer litt på.. lurer på om det finnes andre måter å løse denne (om jeg har løst den riktig da)

[symbol:integral] (y^3+y) / [symbol:rot] (1+y^2) dy

Tar tak i denne på følgende måte:

[symbol:integral] (y^3+y) / [symbol:rot] (1+y^2) dy = [symbol:integral] y^3/[symbol:rot] (1+y^2) dy + [symbol:integral] y/[symbol:rot] (1+y^2) dy

[symbol:integral] y^3/[symbol:rot] (1+y^2) dy
setter u=1+y^2 <=> y(u-1)= y^3, (u-1)du = dy

[symbol:integral] (u-1)/ [symbol:rot] u du ....

og

[symbol:integral] y/[symbol:rot] (1+y^2) dy

=1/2 [symbol:integral] 1/ [symbol:rot] u du ....

Noen kommentarer...??

På forhånd takk

---------------------------------------------------------------------------------

Ser greit ut, men du har vel glemt en 0.5 i første integral:

Skriver d slik:

[tex]I\;=\;\int {y^3+y\over sqrt {1+y^2}}dy[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]\int {y^3\over sqrt {1+y^2}}dy\;+\;\int {y\over sqrt {1+y^2}}dy[/tex][tex]\;=\;I_1\;+\;I_2[/tex]


[tex]I_1:\;[/tex][tex]u=1+y^2[/tex]

[tex]0.5(u-1)du=y^3dy[/tex]


[tex]I_2:\;[/tex][tex]u=1+y^2[/tex]

[tex]0.5du=ydy[/tex]

som gir I:

[tex]I\;=\;{1\over 2}[\int {(u-1)u^{-0.5}}du\;+\;\int {u^{-0.5}}du][/tex]

[tex]I\;=\;{1\over 2}\int {u^{0.5}}du[/tex]

[tex]I\;=\;{1\over 3}{u^{1.5}}\;+\;C[/tex]


ja ser nå at du har fått bidraget ditt alt, enklere det han gjorde...
var opptatt allikevel j...

[al-Khwarizmi]

takk

[Janhaa]

Faktisk kan integralet (I) skrives som:

[tex]I\;=\;\int {y^3+y\over sqrt {1+y^2}}dy\;=\;[/tex][tex] \int y{sqrt {1+y^2}}dy[/tex]

bruk u = y[sup]2[/sup] + 1
som forrige gang
0.5du = ydy

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}\int {u^{1\over 2}}du\;=\;[/tex][tex]{1\over 3}{u^{3\over 2}}\;+\;C [/tex]

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 3}{(y^2+1)^{3\over 2}}\;+\;C[/tex]

flere veier til Rom...

[al-Khwarizmi]

Hvordan gjør du om integralet til [symbol:integral] y [symbol:rot] (1+y^2)dy??

Takk

[Janhaa]

Hvordan gjør du om integralet til [symbol:integral] y [symbol:rot] (1+y^2)dy??

Takk

----------------------------------------------------------------

[tex]y^3+y\over sqrt{y^2+1}[/tex]

=[tex]\;y(y^2+1)\over sqrt{y^2+1}[/tex]


=[tex]\;y(sqrt{y^2+1})^2\over sqrt{y^2+1}[/tex]

[tex]{=}\;y sqrt {y^2+1}[/tex]