Oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag del 1 laget av mattepratbruker Emilga

Løsningsforslag del 2 laget av mattepratbruker Kristian Saug


Innhold

DEL EN

Oppgave 1

$\frac{0,00046 \cdot 25000000}{0,05} = \frac{4,6 \cdot 10^{-4} \cdot 25 \cdot 10^6}{5 \cdot 10^{-2}} = 4,6 \cdot 5 \cdot 10^{-4+6+2} = 23 \cdot 10^{4} = 2,3 \cdot 10^{5}$

Oppgave 2

$\left[ \begin{align*} 2x + 3y =6 \\ 5x + 6y =18 \end{align*}\right]$

Velger å bruke addisjonsmetoden. Multipliserer første likning med -2:

$\left[ \begin{align*} -4x - 6y = -12 \\ 5x + 6y =18 \end{align*}\right]$

Legger likningene sammen og får:

x = 6

Setter x = 6 inn i første likning og får y = - 2

Løsning: ( 6, -2)

Oppgave 3

-2 (x+2)( x - 4) > 0

Uttrykket i ulikheten er ferdig faktorisert, så man kan sette opp et fortegnsskjema med en gang og finne ut når uttrykket på venstre side er større enn null.


1t-h19-1-3b.png


$x \in < -2,4>$

Oppgave 4

$ \frac{2x^2+x+3}{x^2-9} - \frac{x}{x+3} = \frac{2x^2+x+3-x(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{x^2+4x+3}{(x+3)(x-3)} = \frac{(x+3)(x+1)}{(x+3)(x-3)} = \frac{x+1}{x-3}$

Oppgave 5

a)

$lg(4x)= 0 \\ 10^{lg(4x)} = 10^0 \\ 4x=1 \\ x = \frac 14$

b)

$ lg( \frac{\sqrt{50}}{x}) = \frac 12 \\ 10^{lg (\frac{\sqrt{50}}{x})} = 10 ^{\frac 12} \\ \sqrt{50} = x \sqrt{10} \\ x = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{50}{10}}\\ x = \sqrt 5$


c)

$ 2^{x^2} \cdot 2^{3x} =16 \\ 2^{x^2+3x} = 2^4 \\ x^2+3x-4 =0 \\ x= -4 \vee x =1$

Oppgave 6

Den rette linjen som går gjennom ( -7, -1) og (5, 2):

En rett linje kan skrives som y = ax + b

Finner stigningstallet a:

$a = \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{2-(-1)}{5-(-7)} = \frac{2+1}{5+7} = \frac 14$

Du kan nå bruke ettpunktsformelen, eller tenke:

$y = ax+b \\ 2= \frac 14 \cdot 5+b \\ b= \frac 34 $

Likningen for linjen er da:

$y = \frac 14 x + \frac 34$

Oppgave 7

$ax^2+3x+1=x-2 \quad x \neq 0 \\ ax^2+2x+3 =0$


Fra abc- formelen vet vi at en løsning oppstår dersom $b^2 - 4ac= 0$ :

$2^2-4 \cdot a \cdot3 = 0 \\4 - 12a =0 \\ a = \frac 13$

a lik en tredjedel gir en løsning.

Oppgave 8

a)

$f(x)= x^3+4x^2+x-6 \\ f'(x) = 3x^2 + 8x+1$

b)

Momentan vekstfart i (-3, f(-3)):

$f'(-3)= 3 \cdot (-3)^2 + 8 \cdot (- 3) + 1 = 27 -24 + 1 = 4$

c)

Gjennomsnittlig vekstfart [ -1, 2 ]:

$f(-1)= (-1)^3+4(-1)^2+(-1)-6 = -1+4-1-6= - 4 \\ f(2) = 2^3+4\cdot 2^2+2-6 = 8+16 + 2 -6 = 20 \\ \frac{f(2)-f(-1)}{3} = \frac{20 - (-4)}{3} = 8$

Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet er 8.

Oppgave 9

a)

1p-h19-1-7-a.png

b)

Fra valgtre:

$P(des) = \frac35 \cdot \frac 12 + \frac 25 \cdot \frac 34 = \frac {3}{10} + \frac {6}{20} = \frac{6}{10}$

60% ønsket dessert.

Oppgave 10

1t-h19-2-4.png

x= -3: Funksjonen har et toppunkt, men har negativ verdi.

x= 2: Funksjonsverdi fortsatt negativ og funksjonen har et bunnpunkt.

x= 4: Funksjonen vokser (deriverte positiv). Den har et nullpunkt

x= 7: Funksjonen har et terrassepunkt. Den deriverte har et nullpunkt, men samme fortegn (positiv) på begge sider av nullpunktet.

Oppgave 11

a)

Bruker pytagoras:

$x^2 + x^2 = (4 \sqrt2)^2 \\ 2x^2 = 32 \\ x^2 = 14 \\ x =4 $

b)

$ \tan(v) = \frac{motstående kat}{hosliggende kat} = \frac 44 = 1$

c)

$ \sin(v) = \frac{motståendekatet}{hypotenus} = \frac{4}{4 \sqrt {2}} = \frac{1}{\sqrt {2}} = \frac{\sqrt {2}}{\sqrt {2} \cdot \sqrt {2}} = \frac {\sqrt {2}}{2} $

Oppgave 12

Vi bruker arealsetningen:

$A = abSinC = 3\sqrt2 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt 2}{2} = 3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$


Nå var sinus til vinkelen oppgitt i forrige oppgave. Dersom du ikke husker den kan du utlede den ved å tegne en rettvinklet trekant med hypotenus 1.

Oppgave 13

a)

I området 0 - 180 grader har en sinusverdi to løsninger (sjekk enhetssirkelen).

Vi har symmetri, så dersom en vinkel er $53,5^{\circ}$ så er den andre $180^{\circ} - 53,5^{\circ} =126,5^{\circ}$

b)

1t-h19-1-13-b.png

DEL TO

Oppgave 1

a)

1t-h19-2-1-a.png

b)

I uke 29 er den momentane vekstfarten 0,9 cm. Det betyr at avstanden øker 0,9 cm i uke 29.

c)

Økningen i denne perioden er i gjennomsnitt ca 8 mm per uke. Se figur i a.

Oppgave 2

a)

Tysk ikke Tysk Sum
1T $ 6$ $ 8$ 14
ikke 1T $6$ $10$ 16
Sum 12 18 30

b)

P (tysk, men ikke 1T) = $\frac {6}{30} = \frac 15$

c)

P( tysk, gitt ikke 1T) = $\frac{6}{16} = \frac 38$

Oppgave 3

Regner i CAS:

1t-h19-2-3.png

Finner BC ved pytagoras, har formlikhet i de to trekanten og finner så DE = 4.

Oppgave 4

a)

1t-h19-2-4-a.png

Bruker pytagoras og får at $ CD = \sqrt{3}a $

b)

Vinkel ACD er 30 grader fordi trekanten er rettvinklet og hypotenusen er dobbelt så lang som korteste katet. Vinkel BCA blir da 135 grader.

Bruker cosinussetningen og får

1t-h19-2-4-bversjon2.png

Det positive utrykket er svaret, $AB = 3,45 \cdot a$

Oppgave 5

a)

1t-h19-2-5-a.png

Nullpunkter: x = 0 eller x = k ( linje 3)

b)

Linje 4 i a:

$f'(x) =3x^2 - 4kx + k^2$

c)

Både figur A og C stemmer med nullpunkter og ekstremalpunktets x verdi. Vi sjekker funksjonen og den deriverte for x = -1:

1t-h19-2-5-c.png


Vi ser at funksjonsverdien er negativ og den deriverte positiv, altså er det figur C som viser grafen til f.

d)

Bruker linje (punkt)(punkt) kommando i CAS og får:


1t-h19-2-5-d.png


Stigningstall: $- \frac{2k^2}{9}$

e)

1t-h19-2-5-e.png

Setter den deriverte lik $- \frac{k^2}{3}$ og får bare ett svar som tilfredsstiller likningen,

$ x= \frac{2k}{3} $.

Finner y koordinaten til punktet ved å sette resultatet over inn i f:

1t-h19-2-5-e2.png

Tangeringspunkt : $ ( \frac{2k}{3},\frac{2k^3}{27} )$