oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Løsningsforslag laget av Ole Henrik Morgenstierne


Innhold

DEL EN

Oppgave 1

$\frac{4,5 \cdot 10^{12}}{900} = \frac{4,5}{9} \cdot \frac{10^{12}}{10^2} = 0,5 \cdot 10^{10} = 5,0 \cdot 10^9$

Oppgave 2

$-x^2-2x+3 > 0 $

Vi ser at uttrykket på venstre side er et andregradsuttrykk, der grafen vender sin hule side ned. Vi er altså interessert i området mellom to eventuelle nullpunkt. Vi faktoriser : $ -x^2-2x+3 =-(x-1)(x+3) $

Nullpuktene er x= -3 og x = 1, så løsningsmengden til ulikheten er området mellom:

$ x \in <-3,1>$

Oppgave 3

$\frac{x^2}{x^2-4} + \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+2} \\ = \frac{x^2}{(x+2)(x-2)} + \frac {3 \color{red}{ (x+2)}}{( \color{red}{x+2})(x-2)} +\frac{1 \color{red}{(x-2)}}{(x+2) \color {red}{(x-2)}} \\ = \frac{x^2+3x+6+x-2}{(x+2)(x-2)} \\ = \frac{x^2+4x+4}{(x+2)(x-2)} \\= \frac{(x+2)(x+2)}{(x+2)(x-2)} \\ = \frac{x+2}{x-2}$

Oppgave 4

I denne type oppgave kan det lønne seg å prøve å faktorisere grunntallene for å minimalisere antallet grunntall. $16=2^4, 9=3^2$ osv.

$4^2 \cdot 2^{-3} \cdot 27^{\frac 13} \cdot 64 ^{- \frac 23} \\ = (2^2)^2 \cdot 2 ^{-3} \cdot (3^3)^{\frac 13} \cdot (2^6) ^{- \frac 23} \\ = 2^4 \cdot 2^{-3} \cdot 2 ^{-4} \cdot 3^1 \\ = 3 \cdot 2^{-3} \\ = \frac {3}{2^3} = \frac 38$

Oppgave 5

Dette er en likebeint trekant. Normalen fra vinkelen dannet av sidene som begge er 5 vil dele grunnlinja i to like store linjestykker som hver har lengde 3. Bruker Pytagoras og ser at høyden i trekanten er 4, ($5^2 - 3^2 = h^2$).

Definisjonen på tangens til en vinke er motstående katet dividert på hosliggende katet, altså:

$\tan v = \frac 43$

Oppgave 6

Det hjelper å huske at $lg 1 = 0$ og at $lg 10 = 1$

$lg 100 + lg 1 + lg \sqrt{10} + lg 0,001 \\ = lg 10^2 + 0 + lg 10^{\frac 12} + lg 10^{-3}\\ = 2 lg10 + \frac 12 lg10 - 3 lg10 \\ = 2+ \frac 12 -3 \\ = - \frac 12$

Oppgave 7

$lg(10^x \cdot 10^{2x})= 6 \\ lg (10^{(x+2x)} =6 \\ lg(10^{3x})= 6 \\ 3x \cdot lg 10 = 6 \\ 3x \cdot 1 = 6 \\ x=2$

Oppgave 8

a)

Desom vi anvender abc formelen på et fullstendig kvadrat blir uttrykket under rottegnet null:

$12^2 - 4 \cdot k \cdot 9 = 0$ fordi f(x) er et fullstendig kvadrat. Vi får da

$k = \frac{144}{36} = 4$

b)

Nullpunktet vil være på symmetrilinja:

$x= \frac{-b}{2a} = - \frac{12}{8} = - \frac 32$

Oppgave 9

a)

Hendelse M: I rute mandag - 80% Hendelse F: I rute fredag - 90%

Dersom begge henvendelsene skal inntreffe bruker vi multiplikasjonssetningen for å finne sannsynligheten:

P (M og F) = $P(M) \cdot P(F) = \frac{80}{100} \cdot \frac{90}{100} = \frac{7200}{10000}= \frac {72}{100} = 72$ %.

Det er 72% sannsynlig at toget er i rute begge dagene.


b)

Dersom toget skal være i rute kun en av dagene kan det skje på to måter:

1: Toget er i rute mandag, men ikke fredag

2: Toget er i rute fredag, men ikke mandag.

P( i rute kun EN dag) = $P(M)\cdot P( \bar{F}) + P(F) \cdot P(\bar{M})$

Streken over F og M betyr sannsynligheten for at det IKKE er i rute M (mandag) eller F (fredag).

Vi får: P( i rute kun EN dag) = $0,8 \cdot 0,1 + 0,9 \cdot 0,2 = 0,26$ som er 26%.


Oppgave 10

a)

1p-v19-1-5-a.png

b)

Fra figuren i a ser man at når det er $-40^{\circ}C$ er det også - 40 Fahrenheit. Begge gradestokkene vil da vise samme tallverdi.

c)

En rett linje er gitt som y= ax + b

I dette tilfelle er x = C og y = F, b = 32

Vi får da: F = aC + 32


For å finne stigningstallet, a, bruker vi de to siste punktene gitt i oppgaven ( 0, 32) og (10, 50). Man kan bruke hvile to punkter man vil men det lønner seg alltid å velge verdier som gir enklest mulig regning. Vi tar endring i y verdi delt på endring i x verdi:

$a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{50 - 32}{10-0}= \frac{18}{10} = \frac 95$ som er stigningstallet. Sammenhengen blir da:


$F = \frac 95 C + 32$

d)

$ F(C) = \frac 95 C + 32 \\F(100) = \frac 95 \cdot 100 + 32 \\ F(100) = \frac{9 \cdot 100}{5} + 32 \\ F(100)= 9 \cdot 20 +32 = 212$

Altså er $100^{\circ} C = 212^{\circ}F$

Oppgave 11

a)

1) $\sqrt{48} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{16} \sqrt 3 = 4 \sqrt 3$

2) $\sqrt{75} = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 5} = 5 \sqrt 3$

b)

Vi vet at definisjonen på cosinus i en rettvinklet trekant er hosliggende katet delt på hypotenus. Fra ungdomskolen vet vi at i en 30 - 60 - 90 trekant er det korteste katetet halvparten så lang som hypotenusen. Dersom vi lager en 30-60-90 trekant med hypotenusene lengde lik 1 får vi:

$cos 60 = \frac{\frac 12}{1} = \frac 12$

c)

Vi bruker Cosinussetningen for å finne BC:

$BC^2 = (\sqrt{75})^2 + (\sqrt{48})^2-2 \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{48} \cdot \cos 60 \\ BC^2 = 75 + 48 - 2 \cdot \frac 12 \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{48}$

Så benytter vi resultatene fra oppgave a:

$BC^2 = 123 - 5\sqrt3 \cdot 4 \sqrt 3 \\BC^2 = 123 - 60 \\BC^2 = 63 \\ BC = \sqrt {63} \\ BC = \sqrt{9\cdot 7} \\ BC = 3\sqrt 7$

Oppgave 12

Arealet er gitt: A = 12. Arealsetningen gir $A= \frac 12 \cdot a \cdot b \cdot \sin c \\ \sin c = \frac{2A}{a \cdot b} \\ \sin 120^{\circ} = \frac{2 \cdot 12}{2\sqrt3 \cdot 8} = \frac{24}{16 \sqrt3} \\120^{\circ} =\frac{24 \color{red}{\sqrt3}}{16 \sqrt3\color{red}{\sqrt3}} = \frac{24\sqrt{3}}{48} = \frac{\sqrt 3}{2}$

Oppgave 13

Vi deler figuren opp.

Vi har tre fjerdedeler av en sirkel med radius 3a

Vi har en linje med lengden 2a og en linje med lengden 3a. For å finne lengden av den tredje linjen, den som går på skrå i koordinatsystemet, bruker vi Pytagoras. Den endrer seg 3a i x retning og 4a i y retning:

$\sqrt{(3a)^2 + (4a)^2} =\sqrt{25a^2} = 5a $

Omkretsen blir da: $O = \frac 34 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 3a + 2a + 3 a + 5a = \\ \frac{9 \pi}{2} a + 10a = \\ \frac 12 (9 \pi + 20)a$

Oppgave 14

Den deriverte av p i null lik null stemmer for A og D. Den deriverte av p i -1 skal vare negativ, stemmer bare for A. Derfor er A grafen til p.

Vi ser at graf E har en konstant stigning lik -2 (altså synker den med to for hver enhet av x) og er den eneste som passer til betingelsene til q. Altså viser E grafen til funksjonen q.

Når vi beveger oss fra -2 til 0 på x aksen har vi beveget oss to enheter. Dersom den gjennomsnittlige veksten skal bli 3 må endringen på y aksen være 6 ( $ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac 62 = 3$ ). Den eneste grafen som passer til kravene er F. Altså viser F grafen til r.

Begge tangentene har stigningstall -8 når x=-2 og x=2. Det betyr at funksjonen avtar. Det passer kun med B. B er grafen til s.

DEL TO

Oppgave 1

a)

1t-v19-2-1-a.png

L er temperatur på Lindesnes

N er temperatur på Nordkapp

b)

1t-v19-2-1-b.png

Når klokken er 8 på morgen øker temperaturen på Lindesnes med 0,27 grader per time. På Nordkapp synker den med 0,18 grader.

Jeg la inn to tangenter for x=8. Stigningstalle til disse er grafenes momentane vekst.

c)

1t-v19-2-1-c.png


Temperaturforskjellen kl 12:00 var nesten 8 grader celsius.

d)

1T-V19-2-2-d.png

Laget en funksjon som viser temperaturforskjellen: L(x) - N(x). Den har toppunkt ca kl 20:00. Da er temperaturforskjellen ca 10,7 grader.

Oppgave 2

a)

Krysstabell:

under tredve over tredve Sum
kildesorterer $ 0,14 \cdot 250 = 35$ $ 0,44 \cdot 750 = 330$ 365
kildesorterer ikke $0,86 \cdot 250 = 215$ $0,56 \cdot 750 = 420$ 635
Sum 250 750 1000

b

c)

Oppgave 3

a)

f(x) = ax + b

Siden vi beveger oss en møt høyre på x aksen vil lengden av linjestykket BC tilsvare stigningstallet til den rette linjen, altså a.

b)

c)

d)

Oppgave 4

a)

1t-v19-2-4-a2.png

b)

c)