oppgaven som pdf


Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag til del 1 laget av Kristian Saug

Løsningsforslag til del 2 laget av Kristian Saug

Løsningsforslag til del 1 og 2 laget av Svein Arneson

Innhold

DEL 1

Oppgave 1

$\frac{5,5\cdot 10^{-7}+0,4\cdot 10^{-6}}{0,005} \\= \frac{5,5\cdot 10^{-7}+4\cdot 10^{-7}}{0,005} \\= \frac{(5,5+4)\cdot 10^{-7}}{5\cdot 10^{-3}} \\= \frac{9,5\cdot 10^{-7}}{5\cdot 10^{-3}} \\= 1,9\cdot 10^{-7-(-3)} \\= 1,9\cdot 10^{-4}$

Et tips for å regne ut $\frac{9,5}{5}$ er å gange teller og nevner med 2, slik at du får 10 i nevner, som er lettere å regne ut:

$\frac{9,5}{5}=\frac{9,5\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{19}{10}=1,9$

Oppgave 2

Finner stigningstallet a:

$a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{0-6}{4-2} = \frac{-6}{2} = -3$

Finner likningen for linja ved ettpunktsformelen:

$y-y_1 = a(x-x_1) \\ y-0 = -3(x-4) \\ y=-3x+12$

Oppgave 3

Bruker innsetningsmetoden.

Uttrykker likning 1 ved y:

$2x+y=3 \\ y=3-2x$

Setter inn uttrykket for y i likning 2:

$8x-2y=-12 \\ 8x-2(3-2x)=-12 \\ 8x-6+4x=-12 \\ 12x = -12+6 \\ x = \frac{-6}{12} \\ x = - \frac{1}{2}$

Finner verdien av y ved hjelp av uttrykket mitt for y:

$y = 3-2x \\ y= 3-2\cdot(-\frac{1}{2}) \\ y = 3+1 \\ y=4$

Løsning: $x = -\frac{1}{2}$ og $y=4$

Oppgave 4

$\frac{2}{x-2}-\frac{x-4}{x^2-5x+6}$

$=\frac{2}{x-2}-\frac{x-4}{(x-2)(x-3)}$

$=\frac{2(x-3)}{(x-2)(x-3)}-\frac{x-4}{(x-2)(x-3)}$

$=\frac{2x-6-x+4}{(x-2)(x-3)}$

$=\frac{x-2}{(x-2)(x-3)}$

$=\frac{1}{x-3}$

Oppgave 5

$2x^2+12x+18 \leq 0$

$=2(x^2+6x+9) \leq 0$

$=2(x+3)(x+3) \leq 0$

$=2(x+3)^2 \leq 0$

Utrykket $(x+3)^2=0$ for $x= -3$. For alle andre x-verdier er uttrykket positivt.

Den eneste løsningen av ulikheten $2x^2+12x+18 \leq 0$ er $x = -3$.

Oppgave 6

$\frac{\sqrt{45}+\sqrt{80}}{\sqrt{125}}$

$=\frac{\sqrt{9\cdot 5}+\sqrt{16\cdot 5}}{\sqrt{25\cdot 5}}$

$=\frac{3\sqrt{5}+4\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$

$=\frac{7\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$

$=\frac{7}{5}$

Oppgave 7

$9^2\cdot 3^{-3}\cdot 8^{\frac{1}{3}}\cdot 27^{-\frac{2}{3}}$

$=(3^2)^2\cdot 3^{-3}\cdot (2^3)^{\frac{1}{3}}\cdot (3^3)^{-\frac{2}{3}}$

$=3^4\cdot 3^{-3}\cdot 2^1\cdot3^{-2}$

$=3^{4-3-2}\cdot 2$

$=3^{-1} \cdot 2$

$=\frac{2}{3}$

Oppgave 8

$lg10+lg0,1+lg\frac{1}{100}+lg\sqrt[3]{10}$

$=1+(-1)+(-2)+\frac{1}{3}lg10$

$=-2+\frac{1}{3}\cdot 1$

$=\frac{-6}{3}+\frac{1}{3}$

$=-\frac{5}{3}$

Oppgave 9

a)

$lg(\frac{3x+3}{3})=3$

$\frac{3x+3}{3}=10^3$

$3x+3 = 1000\cdot 3$

$3x = 3000-3$

$x = \frac{2997}{3}$

$x = 999$

b)

$3^{x^2}\cdot 3^{-4x}=1$

$3^{x^2-4x}=3^0$

$x^2-4x=0$

$x(x-4)=0$

$x=0 \vee x=4$

Oppgave 10

Arealet av det skraverte området kan uttrykkes ved:

1) $(a-b)(a-b)=(a-b)^2$

2) $a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$

Figuren illustrerer andre kvadratsetning.

Oppgave 11

Siden $tan\angle A = 1$, er katetene i denne rettvinklede trekanten like store.

1T v20 11.png

Brukes Pytagorassetningen til å finne lengden av katetene, AB og BC, som er like store:

$x^2+x^2=4^2$

$2x^2 = 16$

$x^2 = 8$

$x=\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$AB = BC = 2\sqrt{2}$

Oppgave 12

$P(2,4)+P(4,2)= \frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10} + \frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{100}+\frac{1}{100} = \frac{2}{100} = 0,02$

Sannsynligheten for at koden begynner på 2 4 eller 4 2 er 0,02.

Oppgave 13

a)

Vi lager en midtnormal på AB, slik at vi får trekanten ADC. I en trekant der vinklene er $30^{\circ}, 60^{\circ}$ og $90^{\circ}$, er den korteste kateten halvparten av lengden til hypotenusen.

1T v20 13a2.png

Vi har da:

$sin \angle DCA = \frac{AD}{AC}$

$sin30^{\circ} = \frac{1}{2}$

Hvilket skulle vises.

b)

Bruker cosinussetningen til å bestemme lengden av QR:

$QR^2=PR^2+PQ^2-2\cdot PR \cdot PQ \cdot cos\angle P$

$QR^2 = 5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8 \cdot cos60^{\circ}$

$QR^2 = 25+64-80\cdot \frac{1}{2}$

$QR^2 = 89-40$

$QR = \sqrt{49}$

$QR = 7$

Hvis du ikke husker at $cos60^{\circ} = \frac{1}{2}$, kan du bruke figuren i a). Vi har da:

$cos\angle A = \frac{AD}{AC}$

$cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$

Oppgave 14

1) Funksjonen p er en tredjegradsfunksjon, så den deriverte må være en andregradsfunksjon, figur 2 eller 6. Funksjonen p synker i området mellom topp- og bunnpunktet, og da må den deriverte være negativ (under x-aksen) i dette området. Det passer med at figur 2 viser grafen til den deriverte til funksjonen p .

2) Funksjonen q er en lineær funksjon, så den deriverte må være en konstant, slik som grafen i figur 4. I tillegg ser vi at funksjonsuttrykket til q er $y=\frac{1}{2} x$. Den deriverte vil være $y=\frac{1}{2}$, som stemmer med grafen i figur 4. Figur 4 viser grafen til den deriverte til funksjonen q .

3) Funksjonen r er en andregradsfunksjon, så den deriverte må være en lineær funksjon, slik som grafen i figur 5. Det stemmer også med at bunnpunktet på grafen til funksjonen r er nullpunktet på grafen i figur 5. Figur 5 viser grafen til den deriverte til funksjonen r .

4) Funksjonen s er en eksponentialfunksjon som synker for alle verdier av x, og går mot null når x går mot uendelig. Den deriverte vil være en eksponentialfunksjon hvor funksjonsverdien er negativ for alle verdier av x, men nærmer seg null når x går mot uendelig. Det passer med at figur 3 viser grafen til den deriverte til funksjonen s .

Oppgave 15

Funksjonen f er en tredjegradsfunksjon, og vi vet derfor at den deriverte av f er en andregradsfunksjon.

Funksjonen f har et terrassepunkt i x=2, derfor er f'(2)=0. Den deriverte har punktet (2,0), som også er bunnpunktet til den deriverte. Den deriverte er derfor symmetrisk om linja x=2.

Stigningstallet til tangenten til grafen til f er 3 når x=1. Den deriverte har derfor punktet (1,3), og også punktet (3,3) på grunn av symmetri om linja x=2.

Stigningstallet til tangenten til grafen til f er 12 når x=4. Den deriverte har derfor punktet (4,12), og også punktet (0,12) på grunn av symmetri om linja x=2.

1T v20 15.png

DEL 2

Oppgave 1

a)

Bruker Geogebra til å tegne grafen til T.

1T v20 1a.png

b)

Bruker CAS i Geogebra til å løse oppgaven.

1T v20 1b.png

Temperaturen i metallstykket er 500 grader celsius når smeden tar det ut av ovnen.

c)

1T v20 1c2.png

Smeden har omtrent 26 minutter på å bearbeide metallstykket etter at han har tatt det ut av ovnen.

d)

1T v20 1d.png

$A=394 \\ B=-18,7 \\ C=23 \\ D=174$

Oppgave 2

a)

Maskin A Maskin B Sum
Feil $0,05\cdot 200=10$ $0,02\cdot 100=2$ $10+2=12$
Ikke feil $0,95\cdot 200=190$ $0,98\cdot 100=98$ $190+98=288$
Sum $200$ $100$ $300$

b)

$P(feil) = \frac{12}{300}=0,04$

Sannsynligheten for at det er feil ved hengelåsen er 0,04.

c)

$P(maskin A | feil) = \frac{10}{12}=0,83$

Sannsynligheten for at hengelåsen er produsert av maskin A er 0,83.

Oppgave 3

a)

$f(x)=ax^3-bx-2$

$f'(x)=3ax^2-b$

At grafen til f har topppunkt i x=2 betyr at den deriverte til f har verdien 0 i x=2.

$f'(2)=0 \\ 3a\cdot 2^2-b=0 \\ 12a-b=0$

At grafen til f har topppunkt i (2,6) betyr at f har verdien 6 i x=2.

$f(2)=6 \\ a\cdot 2^3 - b\cdot 2 - 2 = 6 \\ 8a-2b-2=6$

b)

Bruker CAS i Geogebra til å løse likningssettet.

1T v20 3b.png

$a=-\frac{1}{2}$ og $b=-6$

Oppgave 4

Bruker CAS i Geogebra til å løse oppgaven.

Bruker cosinussetningen i linje 1 til å finne cosA.

Finner vinkel A i linje 2, som jeg har bruk for i linje 3.

Bruker sinussetningen i linje 3 for å finne sinC.

1T v20 4.png

Oppgave 5

a)

Bruker CAS i Geogebra til å løse oppgaven. Bruker definisjonen av sinus.

1T v20 5a2.png

b)

Bruker CAS i Geogebra til å løse oppgaven. Figuren er for å støtte forklaringen.

1T v20 5b2.png

1T v20 5b3.png

Linje 1 i CAS: finner PQ=21,18, som er lik AL.

Linje 2: finner AM, som er lik AL+ LM. LM er høyden av sylinderen, som er lik radius i halvkulen, som er lik 21,65.

Linje 3: finner MN, som er lik MO + ON. MO er lik AP, som vi fant i a) er 4,5. ON er lik radius i halvkulen, som er lik 21,65.

Linje 4: finner vinkel v', som er lik vinkel v. Disse er samsvarende vinkler.

Løsning: vinkelen v må være minst 58,59 grader for at solstråler skal treffe gulvet i Pantheon.