2MX vår 1996
REFORM '94
EKSAMENSSEKRETARIATET
MATEMATIKK 2MX
AA6510
Elever
Bokmål
7. juni 1996
Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag
EKSAMEN
Informasjon – se neste side.
- Eksamenstid
5 timer
- Hjelpemidler
Lommeregner med grafisk vindu
Formelark
- Andre opplysninger
Dersom oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt bruke framgangsmåter og hjelpemidler innen læreplanens rammer.
Du skal føre inn nødvendig mellomregning. Skriv en forklaring som er så fullstendig at det ikke kan være tvil om hvordan du løste oppgaven.
På første side av svararket skal du skrive navn og type på den lommeregneren du har brukt ved eksamen.
Grafer – bruk av lommeregner med grafisk vindu
Husk å skrive målestokk og enheter på aksene når du tegner grafer i besvarelsen.
Du behøver ikke føre inn tabell over utregnede funksjonsverdier dersom det ikke er spurt spesielt om det i oppgaven.
Ved grafisk løsning på lommeregner er det tilstrekkelig at du skisserer kurvens form i besvarelsen. På skissen skal det gå fram hvordan du kom fram til svaret.
Oppgi de lommeregnerfunksjonene du har brukt.
Det er ikke nødvendig å oppgi alle tastetrykkene.
Sensur
Karakteren fastsettes etter en helhetlig vurdering.
(Hvert av de enkelte spørsmålene teller i utgangspunktet omtrent like mye.)
Oppgavesettet har 6 sider (medregnet forsiden) i tillegg til formelark for 2MX/2MY (3 sider) og formelark for grunnkurs (2 sider).
Tid: 5 timer
Hjelpemidler: Kalkulator med grafisk vindu. formelark.
Oppgave 1
a) Løs likningene ved regning
- <math>2-0,85^x=1,8</math>
- <math>\cos^2x+\cos x-1=0,\qquad x\in[0,2\pi\rangle</math>
- <math>\lg(x+1)-1=0</math>
b)
Løs ulikheten
- <math>-\frac{5}{x}<2</math>
c)
I en geometrisk rekke er det andre leddet
- <math>a_2=-\frac18.</math>
Rekkens kvotient er
- <math>k=-\frac12.</math>
Vis at summen av de fire første leddene er
- <math>S_4=\frac5{32}.</math>
d)
En vertikal mast <math>ST</math> er plassert på en horisontal mark, mellom punktene <math>A</math> og <math>B</math>.
Bestem høyden til masta når
- <math>\angle SAT=18^\circ,</math>
- <math>\angle SBT=32^\circ</math>
og avstanden
- <math>AB=100\ \text{m}.</math>
e)
Figuren viser en isblokk med form som et rett prisme med lengde 7 cm, bredde 4 cm og høyde 5 cm.
Vi tenker oss at isblokka smelter slik at lengde, bredde og høyde alle minker med like mange centimeter.
Etter en stund har volumet av isblokka minket til halvparten av det opprinnelige volumet.
Bruk lommeregneren til å bestemme hvilken lengde, bredde og høyde isblokka har nå.
Oppgave 2
a)
En sjakklubb har 40 medlemmer, hvorav 16 er kvinner.
Klubben skal velge ut 5 medlemmer til en representasjon.
- Hvor mange måter kan klubben velge 5 representanter på?
- Hva er sannsynligheten for at 3 av de 5 representantene er menn, dersom de 5 blir valgt tilfeldig?
- På hvor mange måter kan klubben velge et styre som består av leder, sekretær og kasserer?
b)
Trafikkundersøkelser viser at 60 % av bilene i rushtiden kjører uten passasjerer.
Ved en kontroll i rushtiden stoppes fire biler.
Hva er sannsynligheten for at sjåføren er alene i akkurat én av disse fire bilene?
Oppgave 3
På et bestemt sted kan den gjennomsnittlige døgntemperaturen <math>T(x)</math> (målt i celsiusgrader) i løpet av et år uttrykkes ved
- <math>T(x)=3-12\cos\!\left(\frac{2\pi(x-10)}{365}\right),\qquad 1\le x\le365</math>
der <math>x</math> er tiden målt i dager. <math>x=1</math> svarer til 1. januar.
a)
Regn ut <math>T(83)</math>.
b)
Tegn grafen til funksjonen <math>T</math>.
La 1 cm på <math>x</math>-aksen svare til 30 dager og la 1 cm på <math>y</math>-aksen svare til 2 °C.
c)
Regn ut hvilken tid på året gjennomsnittstemperaturen er 0 °C.
d)
Når på året er gjennomsnittstemperaturen høyest?
En huseier på dette stedet fyrer med ved når det er kaldere enn <math>-6^\circ\mathrm{C}</math>.
e)
Bruk grafen til å finne ut i hvilke tidsrom huseieren til vanlig fyrer med ved.
Oppgave 4
Den gjennomsnittlige månedlige levekostnaden – målt i kroner – for barn/ungdom på <math>x</math> år kan uttrykkes ved funksjonen
- <math>f(x)=-0,5x^3+15x^2+1400,\qquad x\in[0,20]</math>
a)
Velg en passende skala på aksene, og tegn grafen.
b)
Hva er den gjennomsnittlige månedlige levekostnaden for et barn på 5 år?
c)
Hvor gammelt er barnet/ungdommen når den gjennomsnittlige månedlige levekostnaden er det dobbelte av levekostnaden for en ettåring?
d)
Hvor lang tid vil det gå før barnet/ungdommen totalt har kostet foreldrene 200 000 kr?
e)
Bruk derivasjon til å vise at barnet er 10 år når den månedlige levekostnaden vokser raskest.
f)
Hva ville gjennomsnittlig månedlig levekostnad ha blitt for en tjueåring dersom levekostnaden hadde fortsatt å vokse like sterkt som den gjør for en tiåring?
Oppgave 5
Et oljeselskap planlegger ilandføring av olje gjennom en rørledning, fra et felt ute i havet til en terminal inne på land. Figuren viser situasjonen.
Oljefeltet ligger i punkt <math>A</math>, 24 km fra land.
Den rette linja gjennom <math>B</math> og <math>C</math> markerer kysten.
Terminalen er i punkt <math>T</math>, 10 km fra kysten.
Punktene <math>B</math> og <math>C</math> er lagt slik at
- <math>\angle ABC=\angle BCT=90^\circ</math>
og avstanden <math>BC</math> er 50 km.
Vi ser bort fra høydeforskjeller.
Det koster 2000 kr per meter å legge rørledning i sjøen og 1000 kr per meter på land.