Aritmetisk progresjon

En aritmetisk følge er en tallfølge, $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ ($\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; $a_{i+1}-a_i=d$ .

Eksempel
Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at $a_{i+1}-a_i=2$
. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. $a_1=3$ . Følgen $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ er nå entydig bestemt siden formlene over gir at $a_2-a_1=a_2-3=2$ . Dette gir at $a_2=2+3=5$ . Videre er $a_3-a_2=a_3-5=2$ , så $a_3=2+5=7$ osv.


Test deg selv

Aritmetisk rekke (sum)

En aritmetisk rekke er summen av leddene $a_i$ i en aritmetisk progresjon $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ med et endelig antall ledd $N$ . Den $n$ -te partialsummen(delsummen) er summen av de $n\leq N$ første leddene i rekken og kan defineres ved at $S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i$ . Siden $a_{i+1}=d+a_i$ for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av $n$ ledd:

$S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=na_1+\sum_{i=1}^n (i-1)d=na_1+d\sum_{i=0}^{n-1} i=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

Merk at formelen kun avhenger av startverdien $a_1$ og den konstante differansen $d$ .

Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved $S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n$ . Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt $\frac{a_1+a_n}{2}$ . Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på $\frac{a_1+a_n}{2}$ , blir summen $\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ .

Eksempel
La oss se på den endelige følgen $(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}$
. Da blir summen $S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{11\cdot 10}{2}=55$


Test deg selv


Tilbake til R2 Hovedside