Innhold

Metrisk rom, bakgrunn for avstandsbegrep (avansert, noe utover R2 pensum)

I en mer generell kontekst er det euklidske rommet $(\mathbb{R^3})$ et metrisk vektorrom, dvs. at vi har definert en metrikk, eller avstandsfunksjon $d(x,y)$ , som tilfredsstiller kravene


$\begin{array}{cl} I.& d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y \\ II.& d(x,y)\geq 0 \, \forall x,y \\ III. & d(x,y)=d(y,x) \, \forall x,y\\ IV.& d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)\, \forall x,y,z \end{array}$


Metrikken er i vårt tilfelle definert som


$d(x,y)=|x-y|$


Her er x,y og z romlige vektorer (selv om vi har droppet vektorpil).

Avstand mellom punkter

Med metrikken i bakhodet definerer vi avstanden mellom punkter på vanlig måte, dvs.


$d(x,y)=|x-y|=|y-x|$


Avstand mellom et punkt og en linje

Definisjon

Vi tenker oss en linje som en delmengde $\mathcal{U}$ av hele det euklidske rommet, dvs. at $\mathcal{U}$ er mengden av alle punkter på linja. Da er avstanden mellom et punkt $x$ og $\mathcal{U}$


$d(x,\mathcal{U})=\min_y(|x-y|:y\in \mathcal{U})$


Altså er avstanden mellom punktet x og linja $\mathcal{U}$ den minste avstanden mellom x og alle punkter y på linja.


Konkret beregning

Gitt punktet $\vec{p}=(x,y,z)$ og linja på parameterform $\vec{l}(t)=(t,y(t),z(t))$ finner vi avstanden ved først å beregne vektoren;


$\vec{d}(t)=\vec{l}(t)-\vec{r}$

.


Tar vi lengden av denne vektoren får vi en skalarfunksjon av variabelen $t$ som representerer avstanden mellom punktet og punkter på linja. Bruker vi så definisjonen over, vil minimum av $|\vec{d}(t)|$ være avstanden vi er ute etter, som typisk finnes ved å nullstille den deriverte $\frac{d(|\vec{d}(t)|)}{dt}$ .

Avstand mellom et punkt og et plan

Definisjon

Dersom $\mathcal{V}$ er delmengden bestående av alle punkter i et plan og $x$ er et punkt, er avstanden definert som


$d(x,\mathcal{V})=\min_{y}(|x-y|:y\in\mathcal{V})$


Konkret beregning

Gitt et plan , $ax+by+cz=d$ , med enhetsnormalvektor $\frac{1}{|(a,b,c)|}(a,b,c)$ , og et punkt $\vec{p}=(x,y,z)$ , finner vi avstanden mellom punktet og planet ved først å finne et vilkårlig punkt i planet. (Hvis $c\neq 0$ kan vi f.eks. la $x=y=0$ i ligningen for planet. Da blir $z=\frac{d}{c}$ og vi får punktet $(0,0,\frac{d}{c})$ som ligger i planet.) Tar vi differansen mellom punktet i planet og punktet $\vec{p}$ , (eksempelvis $\vec{v}-(0,0,\frac{d}{c})$ ) og tar skalarproduktet av denne og enhetsnormalvektoren, finne vi avstanden , opp til fortegn, vi er ute etter.