Definisjon

Den deriverte av en funksjon beskriver hastigheten funksjonene forandrer seg med, med hensyn på en uavhengig variabel. Den deriverte er også stigningen til tangenten av kurven. La oss anta at vi har funksjonen f(x) i et koordinatsystem. Vi velger et punkt x på førsteaksen. Tilhørende funksjonsverdi er f(x). La oss tenke oss at vi beveger oss et lite stykke bortover på førsteaksen fra x. Denne avstanden kaller vi ∆x. Dette nye punktet på førsteaksen heter da x+∆x. Funksjonsverdien til dette punktet blir f(x+∆x). Dette kan se slik ut:

Diferens.gif

Om vi så tenker oss at størrelsen på ∆x går mot null har vi følgende:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Den deriverte av f(x) skrives f '(x) og er gitt ved uttrykket over. Vi se at stigningstallet til sekanten vil nærme seg stigningstallet til grafens tangent i x, når ∆x går mot null.

Derivasjonsregler

Nedenfor følger en oversikt over de vanligste derivasjonsreglene for funksjoner med en variabel.

TYPE FUNKSJON DERIVERT EKSEMPEL
Potenser
f(x) = xn f '(x) = nxn-1 $(x^3)' = 3x^2$
Konstant multiplisert
med funksjon
c f(x) [c f(x)]' = c f '(x) $(4x^3)' = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2$
Konstant f(x)= C C' = 0 (5)' = 0
Polynom f(x) = g(x)+ h(x) +... f '(x) = g'(x) + h'(x) +... $(x^3 -4x^2 +2x -1)' = 3x^2 - 8x + 2$
Eksponentialfunksjonen ax f (x) = ax f '(x) = axln a
Eksponentialfunksjonen ex f (x) = ex f '(x) = ex
Produkt
Bevis
Eksempel
Se video [1]
f(x)$\cdot$ g(x) [f(x)$\cdot$

g(x)]'= f '(x)$\cdot$ g(x)+ f(x)$\cdot$

g '(x)
$(4x^3cos(x))'= 12x^2cos(x)-4x^3sin(x) \\ = 4x^2(3cos(x)-xsin(x))$
Sinus f(x) = sin x f'(x) = cos x
Cosinus f(x) = cos x f'(x) = -sin x
Tangens f (x) = tan x $f ' (x)=\frac{1}{cos^2x}$

eller $f ' (x)= 1 + tan^2x$

Kvotient f (x)=$\frac{g(x)}{h(x)}$

Bevis
f ' (x)=$\frac{g ' (x)\cdot h(x)- g(x)\cdot h ' (x)}{(h(x))^2}$ $( \frac{sin x}{2x^3})' \\ = \frac{cosx \cdot 2x^3 - 6x^2sinx}{4x^6}\\ = \frac{xcosx-3sinx}{2x^4}$
Kjerneregel y = g(u)
u er en funksjon av x
y ' = g ' (u)∙u' $(sin(x^2))' = 2x cos(x^2)$
Logaritme funksjonen f(x) = ln |x| f ' (x)=$\frac{1}{x}$
Kvadratrot f(x)=$\sqrt{x}$ f ' (x)=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Nte'rot f(x)=$\sqrt[m]{x^n}=x^{\frac{n}{m}}$ Se potensfunksjon