Innhold

Geometrisk progresjon

En geometrisk progresjon $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs $\frac{a_{n+1}}{a_n}=k$ .

Slike tallfølger kan skrives på formen $a_n=a_1k^{n-1}$


Test deg selv

Geometrisk rekke

En geometrisk rekke er summen av elementene i en geometrisk progresjon.

For geometriske rekker $a_n=a_1k^{n-1}$ er $S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}$

Bevis for summeformel

Betrakt tallet $(k-1)(1+k+k^2+k^3+ \ldots +k^n)$ . Ganger vi ut parentesene, får vi $(k+k^2+k^3+ \ldots + k^{n+1})-(1+k+k^2+k^3+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1$ . Men dersom

$(k-1)(1+k+k^2+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1$

kan vi dele med faktoren $(k-1)$ på begge sider og få

$\sum_{i=0}^{n}k^i = 1+k+k^2+ \ldots + k^n = \frac{k^{n+1}-1}{k-1}$

Multipliserer vi så med $a_1$ på begge sider, vil vi oppnå summeformelen, og beviset er ferdig.

Uendelige geometriske rekker

Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1k^{n-1}$ sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.

I slike tilfeller er $\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}$



Tilbake til R2 Hovedside