En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen $f'+A(x)f=B(x)$ kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor $e^{\int A(x)\,dx}$ .


Generell utledning

Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon $g=g(x)$ : (Her betyr $A=A(x)$ , $B=B(x)$ etc.)


$f'+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf'+Agf=gB$


Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon $g$ slik at $Ag=g'$ , ser vi at ligningen blir:


$gf'+g'f=gB$


Da gjenkjenner vi venstresida som $(gf)'$ , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen $g$ finner vi enkelt ved å løse ligningen


$g'=Ag$


Dette er en separabel ligning med løsning $g=e^{\int A\,dx}$ . Vi har altså funnet integrerende faktor.


Eksempler

Eksempel

La oss se på førsteordensligningen $f'+f=0$ . Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor $e^x$ får vi $e^xf'+e^xf=0$ . Ligningen kan nå omskrives til $(e^xf)'=0$ eller ekvivalent $\frac{d(e^xf)}{dx}=0$ . Da ser vi at $e^xf$ må være konstant, i.e. $e^xf=c$ . Ganger vi med $e^{-x}$ får vi at løsningen er $f(x)=ce^{-x}.$ . Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.