Introduksjon til komplekse tall
Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet. Den tar sikte på å gi konseptet om komplekse tall et konkret rammeverk, heller enn å utvikle avledede konsepter.
Introduksjon
Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter
Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt
Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen
Gitt
Motsatt vei har vi
Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da
På polar form er det eneste punktet med
Elementære egenskaper
Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter
Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.
Vi vet altså at
Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:
og
Så vi får som resultat at
og
Så vi har statfestet at dersom
Sammenheng med komplekse tall
Det følger smertefritt fra diskusjonen ovenfor at
- 1)
- 2)
- 3)
Ettersom vi har at
Ettersom det er mye arbeid å skrive ut paranteser med koordinater hver gang vi vil bruke denne operasjonen, er det derimot fristende å lage en kortnotasjon for punktene. La oss derfor kalle
og
Disse er de vanlige regnereglene for komplekse tall, og vi har dermed vist at regning med komplekse tall ikke er noe mer enn regning med punkter i planet, med en bestemt type multiplikasjon.
Herfra følger dermed alle resultater som gjelder for komplekse tall.