Introduksjon til komplekse tall

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet. Den tar sikte på å gi konseptet om komplekse tall et konkret rammeverk, heller enn å utvikle avledede konsepter.

Introduksjon

Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter P(a,b) og Q(c,d) kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er

P+Q=(a+c,b+d)

Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt (0,0). Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som PQ=(ac,bd), fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen (a,0) eller (0,b).


Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen (a,b)=\<r,θ for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.

Gitt (x,y)=\<r,θ, har vi at

r=x2+y2 og tanθ=yx, med θ i samme kvadrant som (x,y).

Motsatt vei har vi

x=rcosθ og y=rsinθ


Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da

\<r1,θ1\<r2,θ2=\<r1r2,θ1+θ2

På polar form er det eneste punktet med r=0 punktet (0,0), så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.

Elementære egenskaper

Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter P,Q har vi PQ=QP, la oss se på uttrykket P(Q+R). Vi vil gjerne at dette skal være lik PQ+PR som med vanlige tall. Dette viser seg å være sant, men er noe rotete å vise.

Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.


Vi vet altså at r1=a2+b2, tanθ1=ba, r2=c2+d2 og tanθ2=dc. Da får vi at produket av (a,b) og (c,d) på polar form er gitt ved

r=(a2+b2)(c2+d2) og θ=arctan(ba)+arctan(dc)=arctan(ba+dc1bdac)=arctan(ad+bcacbd)

Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:

cos2θ=11+tan2θ=(acbd)2(acbd)2+(ad+bc)2=(acbd)2a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(acbd)2(a2+b2)(c2+d2)

og

sin2θ=tan2θcos2θ=(ad+bc)2(a2+b2)(c2+d2)

Så vi får som resultat at

x=rcosθ=acbd

og

y=rsinθ=ad+bc

Så vi har statfestet at dersom P=(a,b) og Q=(c,d), så er

PQ=(acbd,ad+bc)

Sammenheng med komplekse tall

Det følger smertefritt fra diskusjonen ovenfor at

1) (1,0)(1,0)=(1,0)
2) (0,1)(0,1)=(1,0)
3) (0,1)(1,0)=(0,1)


Ettersom vi har at AB=BA og A(B+C)=AB+AC for alle punkter A,B,C, kan vi bestemme alle produkter fra disse 3 reglene.

Ettersom det er mye arbeid å skrive ut paranteser med koordinater hver gang vi vil bruke denne operasjonen, er det derimot fristende å lage en kortnotasjon for punktene. La oss derfor kalle (1,0) for 1 og (0,1) for i. Da kan alle punkter i planet uttrykkes som en sum a+bi for tall a og b, og vi har

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

og

(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i


Disse er de vanlige regnereglene for komplekse tall, og vi har dermed vist at regning med komplekse tall ikke er noe mer enn regning med punkter i planet, med en bestemt type multiplikasjon.

Herfra følger dermed alle resultater som gjelder for komplekse tall.