Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. $i^2$ er størrelsen som tilfredstiller $i^2= -1$ .

Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden.

a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z), b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z).

Mengden av alle komplekse tall kalles for C. De reelle tallene er inkludert i C.

For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:

Kompleksplan.gif


REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL

Potenser av $i^n$ kan alltid reduseres til pluss/minus 1 eller pluss/minus i. Eksempelvis er $i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = - i$

Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere $Z_1 = 1 + 2i \quad og \quad Z_2 = 2 + 2i$ blir resultatet $Z_3 = 3 + 4i$

Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som

Z + W = (a + c) + i(b + d).

Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik;

Kompleksplan2.gif

Lengden av linjestykket $OZ_n$ kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved $|Z_n| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . $|Z_n|$ kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet $Z_n$

Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi

Z - W = (a - c) + i(b - d)

Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden $OZ_n$ og vinkelen mellom X aksen og linjestykket $OZ_n$ .

Kompleks3.gif

Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi :

Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >

punktet $\overline{Z}= a-bi$ kalles det konjugerte komplekse tallet til Z.

en viktig egenskap er:

$Z \cdot \overline{Z} = a^2 + b^2 =|Z|^2$

Multiplikasjon.

Multiplikasjon utføres på vanlig måte:

$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Divisjon.

Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:

$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac {ac-adi +bci -bdi^2}{c^2 -cdi + cdi -d^2i^2}= \frac {ac+bd -(ad-bc)i}{c^2 + d^2}$


Tilbake til X hovedside