Parabelen tilhører familien av kurver som vi kaller for kjeglesnitt. Vi kan tenke oss at vi snitter en kjegle på følgende måte:

Parabel.gif

Snittflatens kant har form som en parabel.

En andregradsfunksjon kan generelt skrives som:

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Grafen til en andregradsfunksjon er en parabel.

Parabel2.gif

Dersom a er større enn null vender parabelen sin hule side oppover (den "smiler").

Dersom a er mindre enn null vender parabelen sin hule side nedover (den er "sur").

En parabel er symmetrisk om en linje som går gjennom toppunktet eller bunnpunktet.


Symmetrilinjen er gitt ved:

$x= \frac{-b}{2a}$

Der a og b er konstantene fra andregradsfunksjonen.

LITT MER OM PARABELEN

Geometrisk sted

Geometrisk er en parabel mengden av alle punkter som ligger like langt fra en gitt linje og et gitt punkt. I matematisk litteratur fremstilles ofte parabelen med toppunktet enten til høyre eller til venstre. Om man tegner en vertikal styrelinje og et vilkårlig punkt F et sted i planet, men ikke på styrelinjen, kan det se slik ut:


Parabel3.gif

Punktet F kalles for brennpunkt (Focal point på engelsk). Over ser vi at toppunktet er lagt i origo og at avstanden fra styrelinjen til toppunktet er lik den fra toppunktet til F, $\frac p2$ . Et vilkårlig punkt på parabelen kan da uttrykkes ved:

avstand fra styrelinje = avstand fra brennpunkt

$\frac p2 + x = \sqrt{(x- \frac p2)^2 + y^2}$

som ordnet gir

$y^2 = 2px$

(Dersom du synes det er forvirrende med disse "liggende" parablene kan du bytte x og y og du får en "blid" eller "sur" parabel, avhengig om F ligger over styrelinja eller ikke.)

Et hvert punkt på parabelen vil ha lik avstand til styrelinjen og til punktet F. Det betyr at:

d1 = d1'

d2 = d2'

d3 = d3'

og så videre.

Eksentrisiteten til et kjeglesnitt er gitt som det konstante forholdet:

Avstand til brennpunkt delt på avstand til styrelinje.

Alle parabler har eksentrisitet 1.

Fra figuren ser vi at:

$\frac {d1'}{d1} = \frac {d2'}{d2} = \frac {d3'}{d3} = 1$

EKSEMPEL

La oss ta utgangspunkt i funksjonen

$f(x) = -0,2x^2$

Vi bytter f (x) med y og får


$y = -0,2x^2$

som gir:

$x^2 = -5y$

Skriver vi det på formen til likning (1) finner vi p:

$x^2 = 2(- \frac 52)y$

$\frac p2$ er altså $\frac{-5}{4}$ hvilket betyr at koordinatene til F er $(0, \frac{-5}{4})$ som betyr at parabelen har sin åpning nedover.

Styrelinjen er parallell med x aksen og går gjennom punktet $y = \frac 54$

.

Parabel5.gif


Dersom vi bytter om x og y slik man antydet over får man:

$y^2 = -5x \\ y^2 = 2(- \frac 52)x$


Som gir en figur som uttrykke det samme i forhold til parabelen:

Parabel6.gif


Så langt har parablene hatt toppunktet i origo.

En mer generell sammenheng finner vi om parabelen har toppunktet i et vilkårlig punkt, P(h,k)

Da gjelder følgende sammenheng:

$(y - k)^2 = 2p(x - h)$

(finnes ved samme resonement som over, bare at toppunktet nå ikke ligger i origo)

Eksempel.

Vi undersøker grafen til ligningen: $4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0$

$4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0 \\ 4y^2 -12y = 8x - 1 \\y^2 -3y = 2x - \frac 14 \\ y^2 -3y + ( \frac 32)^2 =2x +( \frac 32)^2 - \frac 14 \\ (y- \frac 32)^2 = 2 \cdot 1 \cdot (x+1)$


Vi ser at p =1, h = -1 og k =3/2. Det gir F(-1/2,3/2), Toppunkt i P(-1,3/2), symmetrilinje for y = 3/2 og styringslinje for x = -2.

Refleksjonsegenskaper

Parabelen har spesielle refleksjonsegenskaper. alle stråler som kommer inn parallelt med symmetrilinjen og treffer parabelen reflekteres gjennom brennpunktet. Dette gir grunnlag for parabolantenner, solovner, solkraftverk, speillinser og mye mer.

Parabel8.gif