En periodisk funksjon $f(x)$ på et intervall $I$ med periode $d$ er kjennetegnet ved at $f(x+d)=f(x) \, \forall x \in I$ (gitt at $x+d\in I$ ). Da vil også $f(x+nd)=f(x) \, \forall n \in \mathbb{Z}$ .

Eksempel
$f(x)=\sin(x)$
$\mathbb{R}$ med periode $d=2\pi$ . Det er evident at $\sin(x)=\sin(x+2\pi)\,\forall x \in \mathbb{R}$ . Vi sier gjerne at $\sin(x)$ er $2\pi$ -periodisk eller at bølgelengden er $2\pi$ .

Enhver sum av funksjoner med lik periode er selv periodisk med samme periode.

Bevis
La $f(x)$
og $g(x)$ være to funksjoner med periode $d$ definert på den reelle tallinja. Da er $f(x+d)=f(x)$ og $g(x+d)=g(x)$ for alle reelle $x$ . Hvis vi legger sammen funksjonene og definerer $h(x)=f(x)+g(x)$ , ser vi at $h(x+d)=f(x+d)+g(x+d)=f(x)+g(x)=h(x)$ , så $h(x)$ har egenskapen til en periodisk funksjon.


Perioden til en gitt funksjon $f(x)$ er den minste verdien av $d$ slik at $f(x+d)=f(x)\,\forall x$ .

Eksempel
Ser vi på produktet $f(x)=\sin(x)\cos(x)$
vil $f(x+2\pi)=f(x)$ , men funksjonen vil også oppfylle $f(x+\pi)=f(x)$ , så perioden til funksjonen vil være $d=\pi$ . Dette er altså en liten fallgrube siden det kanskje kan være fristende å konkludere med at perioden til produktet av to $2\pi$ -periodiske funksjoner har periode $2\pi$ .


Periodisk utvidelse

Periodisk utvidelse av f(x)=x

Vi kan konstruere periodiske funksjoner på f.eks. $\mathbb{R}$ ved å utvide en funksjon definert på et begrenset intervall.

Eksempel
Ser vi på restriksjonen av $f(x)=x$
på intervallet $\langle 0,1]$ kan vi utvide denne til en periodisk funksjon på hele $\mathbb{R}$ gjennom å kreve at $f(x+1)=f(x) \, \forall x\in\mathbb{R}$ . Det vi har gjort er å utvide domenet til funksjonen fra det halvåpne intervallet $\langle 0,1]$ til hele den reelle tallinja på en slik måte at $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ blir periodisk.