Polynomdivisjon kan blant annet brukes til å faktorisere og forenkle et brøkuttrykk.

Nedenfor følger et eksempel på polynomdivisjon.

Eksempel 1

$(8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)=$

Tanken er som følger: Hva må 2x multipliseres med for at vi skal få 8x4? Svaret er 4x3 som skrives på høyre side av likhetstegnet. 4x3 må også multipliseres med 1.

$(8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 \\ 8x^4+4x^3 \qquad\qquad \qquad$

Man trekker fra som ved vanlig divisjon og får:

$\qquad (8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 \\ -(8x^4+4x^3) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 6x^3+3x^2+2x+1 \\ \qquad\qquad \qquad$

Slik fortsetter man og får:

$\qquad (8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 +3x^2 + 1\\ -(8x^4+4x^3) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad6x^3+3x^2+2x+1 \\ \qquad\qquad\qquad\qquad-(6x^3+3x^2) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 2x + 1 \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -(2x + 1) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0 \\$

I dette tilfellet ble resten null. De betyr at divisjonen gikk opp.

La oss se på et eksempel der divisjonen ikke går opp. Det betyr at man får en rest.

Eksempel 2

$\qquad(t^3 - 4t^2 - 8t + 13):(t-1)= t^2 -3t - 11 + \frac{2}{t-1} \\ -(t^3-t^2) \\ \qquad\qquad\qquad -3t^2 - 8t + 13 \\ \qquad\qquad -(-3t^2 + 3t) \\ \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-11t + 13 \\ \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad-(-11t + 11) \\ \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad2 \\$

Resten i dette eksempelet blir 2. Nedenfor ser du funksjonen til $f(t) = \frac{t^3 - 4t^2 - 8t + 13}{t-1}$ . Man observerer at $g(t) = t^2-3t-11$

er en asymptote til f(t). I tillegg er t = 1 en vertikal asymptote til f. Grafen til g er stiplet rød.

Asymp1.png

$\frac{P(x)}{Q(x)}$

Både P og Q er polynomer. Når man utfører divisjonen blir resten av lavere grad enn Q.

Når man dividerer polynomet P(x) med $(x-x_0)$ blir resten $r= P(x_0)$


P(x) er et polynom. Dersom P(x) har faktoren $(x-x_0) \Leftrightarrow P(x_0)=0$


P(x) er et polynom. Dersom divisjonen $P(x):(x-x_0)$ går opp $\Leftrightarrow P(x_0) = 0$


Eksempel 3

Er (x+1) en faktor i polynomet$P(x) = 2x^3-2x^2-3x+1$

 ?

Da må P(-1)= 0

Man får - 2 - 2 + 3 + 1 = 0

(x+1) er en faktor i P

Det betyr også at divisjonen P:(x+1) går opp.