R1 2008 høst LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk


Oppgave 1:

a)

1)f(x)=3e2x,f(x)=32e2x=6e2x

2)h(x)=xlnx,h(x)=lnx+x1x=lnx+1

b)

l går gjennom A(1,2) og B(3,7), AB=[2,5]

1)Parameterfremmstilling:l:[x=1+2ty=2+5t]

2) Skjæring med x-akse, y = 0:t=25x=15,(15,0)

Skjæring med y-akse, x = 0:t=12y=12,(0,12)

c)

1)f(1)=(1)33(1)2(1)+3=13+1+3=0 dvs.f(x) er delelig med (x-(-1))

x33x2x+3:(x+1)=x24x+3(x3+x2)4x2x(4x24x)(3x+3)0

x24x+3=0x=4±16122=4±22x=1x=3f(x)=x33x2x+3=(x+1)(x1)(x3)

2)

f(x)0x[1,1][3,→>

d)

1) Lengden av sidene i trekanten: AB=[2,1],BC=[1,4],AC=[1,5]AB=5,BC=17,AC=26

2)

Dersom trekanten er rettvinklet må AC være hypotenusen.

(AC)2=26(AB)2+(AC)2=5+17=22

Trekanten er ikke rettvinklet.

e)

1)grafen til f(x) er heltrukket og grafen til f'(x) er stipplet. f(x) vokser til x = 1 hvor den har et maksimum. Fra x = 1 til x = 3 er f(x) avtagende, med et minimum i x = 3. Den deriverte er null i x = 1 og x = 3 og negativ mellom disse verdiene, som er i samsvar med at grafen til f har et negativt stigningstall i dette området. Der f vokser er f' positiv.

2)

Oppgave 2:

a)

OB=[3,0],OC=[4,3],OD=[1,5]OM1=12OB=[32,0]OM2=12OB+\fra12OC=[32,0]+[2,32]=[72,32]OM3=12OC+12OD=[2,32]+[12,52]=[32,4]OM4=12OD=[12,52]

b)

Dersom firkanten M1M2M3M4 er et parallellogram, må M1M2=M4M3:

M1M2=[72,32][32,0]=[2,32]M4M3=[32,4][12,52]=[2,32]

Man observerer at så er tilfelle og at firkanten derfor er et parallellogram.

c)

Dersom firkanten N1N2N3N4 er et parallellogram, må N1N2=N4N3:

N1N2=[a+b2,c2][a2,0]=[b2,c2]N4N3=[b+d2,c+e2][d2,e2]=[b2,c2]


DEL TO

Oppgave 3:

a)

16301529=829

b)

P( trekker ti kort og får syv svarte og tre røde)=(167)(143)(3010)=0,139

c)

P(Cu) = P(før)P(Cu|før) + P(etter)P(Cu|etter) = 0,40,45+0,60,35=0,39

d)

P(foer|Cu)=P(foerCu)P(Cu)=0,40,450,39=0,46

Oppgave 4:

Alternativ I

a)

y1=5x+6y2=4x

Setter x=u i y2 og får 4u, dvs. D(u,4u)

Andrekoordinaten til C må være lik andrekoordinaten til D soden DC er parallell med x aksen.

b)

C(x,4u), setter inn i y2:

y2=5x+6x=4u65=64u5

c)

Areal av rektangel: A = bh

F(u)=bh=(64u5u)(4u)F(u)=24u536u25F(u)=365u2+245u

d)

F(u)=725u+245F(u)=0725u+245=0u=13F(13)=36519+24513=45+85=45

Alternativ II

a)

y2=x+6y1=x1A(2,0)y1(2)=21=1D(2,1)y2=x+61=x+6x=5C(5,1)

b)

A=bh=(52)1=3

c)

A(x,0)

Høyde rekangel: (x+1)

Bredde rektangel: (y2y1)=2x+7

Areal:F(x)=bh=(2x+7)(x1)=2x2+9x7

Det som mangler i tabellen blir da:

F(1,5)= 2

F(2,5)= 3

F(3) = 2

d)

F(x)=(2x+7)(x1)=2x2+9x7F(x)=4x+9F(x)=0x=94

Største areal: F(94)=258

A=(94,0)D=(94,54)C=(194,54)B=(194,0)

Oppgave 5:

a)

Vinkelhalveringslinjene møtes i S. Trekanten ADS har samme mål som trekanten AES. Derfor er AD = AE. Samme resonement gjelder for de andre vinklene i trekantene, derfor er BF = BE og CD = CF.

b)

AD = AE = x

BF = BE = y

a = BC = y + r

b = AC = x + r

c = AB = x + y

c)

a + b - c = (y + r) + (x + r) - ( x + y) = 2r

I en rettvinklet trekant er summen av katetene minus hypotenusen lik diameteren til den innskrevne sirkelen.

d)

Det er tilfelle fordi avstanden er denn samme til begge (alle) vinkelbein. Avstanden er r.

e)