R1 2023 Vår LØSNING
Diskusjon av oppgaven på matteprat
Løsningsforslag fra Lektor Seland
Løsningsforslag fra Farhan Omar
Løsningsforslag fra Lektor Trandal
DEL 1
Oppgave 1
$f(x)=e^x+ln\,x$
$f'(x)=e^x+\frac{1}{x}$
Oppgave 2
\[ \lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4} = \frac{2^3-8}{2^2-4} = \frac{0}{0}\]
Bruker l'Hôpitals regel og deriverer teller og nevner hver for seg.
\[ \lim_{x\to 2} \frac{3x^2}{2x}=\frac{3\cdot 2^2}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3\]
Oppgave 3
a)
Vi har $A=(1,3), B=(4,0)$ og $C=(9,4)$
$\overrightarrow{BA} = [1-4, 3-0] = [-3,3]$
$\overrightarrow{BC} = [9-4, 4-0] = [5,4]$
Vi har $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos\,\alpha$, hvor $\alpha$ er vinkelen mellom vektorene.
Regner ut skalarproduktet av vektorene:
$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = -3\cdot5+3\cdot4=-15+12=-3$
Siden skalarproduktet av de to vektorene er negativt, er $cos\,\alpha$ negativ, og vinkelen mellom vektorene er større enn 90 grader.
b)
Vi ønsker å finne et punkt P på linjen som går gjennom punktene B og C, slik at $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP}= 0$
$\overrightarrow{AB} = [4-1, 0-3] = [3,-3]$
Linjen som går gjennom $B=(4,0)$ og $C=(9,4)$ kan uttrykkes ved:
$l:\begin{cases} x=4+5t \\ y= 4t \end{cases}$
P er et punkt på linja l, og kan dermed skrives $P=(4+5t, 4t)$
$\overrightarrow{AP} = [4+5t-1, 4t-3] = [5t+3,4t-3]$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP}= 0$
$[3,-3]\cdot[5t+3,4t-3]=0$
$3\cdot(5t+3)-3\cdot(4t-3)=0$
$15t+9-12t+9=0$
$3t=-18$
$t=-6$
Vi har $P=(4+5t, 4t)=(4+5(-6), 4(-6))=(-26,-24)$
Oppgave 4
a)
Eleven har brukt programmering for å løse oppgaven.
Linje 1 og 2: definerer en funksjon for arealet av rektangelet. Areal = bredde*lengde, hvor bredden er x, og lengden er funksjonsverdien f(x).
Linje 4: definerer variabelen t, som senere representerer bredden, og setter denne lik 0.
Linje 5: definerer variabelen d, som senere skal brukes til en gradvis økning av bredden, og setter denne lik 0,01. Bredden kommer til å økes gradvis med 0,01.
Linje 7 og 8: dette er en while-løkke, som går så lengde arealet når bredden er t, er mindre enn arealet når bredden er t+d. For hver runde i løkken økes bredden med 0,01, slik at ny verdi for t blir t+d.
Linje 10 skriver ut verdien av bredden t når arealet er størst.
b)
Finner toppunktet i funksjonen for arealet, ved å finne verdien til x når den deriverte av funksjonen lik 0.
$A(x)=x(x^2-9)^4$
$A'(x)=1\cdot(x^2-9)^4+x\cdot 4(x^2-9)^3\cdot 2x = (x^2-9)^4+8x^2(x^2-9)^3=(x^2-9)^3(x^2-9+8x^2)=(x^2-9)^3(9x^2-9)=9(x^2-9)^3(x^2-1)$
$A'(x)=0$
$9(x^2-9)^3(x^2-1)=0$
$x^2-9 = 0 \quad\vee\quad x^2-1=0$
$x=3 \quad\vee\quad x=-3 \quad\vee\quad x=1 \quad\vee\quad x=-1$
Funksjonen A(x) er bare definert for $x\in\langle 0,3 \rangle$, slik at løsningen er $x=1$.
Vi sjekker at A(1) er et toppunkt, ved å sjekke at A'(0)>0 og A'(2)<0.
Arealet er størst når $x=1$.
