R2 2016 høst LØSNING

DEL EN

Oppgave 1

a)

$f(x)= 3 cos 2x \\ f'(x)= -6sin 2x$

a)

$g(x) = e^{sinx} \\ g'(x)= cosx \cdot e^{sin x} $

c)

$h(x)= \frac{x}{sin x} \\ h'(x)= \frac{sinx - xcosx}{sin^2x } $

Oppgave 2

a)

$\int(x^2-3x+2)dx = \frac 13 x^3- \frac 32x^2+2x+C$

b)

$\int x cos(x)dx = x sin(x) - \int sin(x)dx = x sin(x) - (- cos(x) ) + C = x sin(x) +cos(x)+C$

c)

$\int 2x \cdot sin(x) dx \quad \quad u=x^2, \quad \frac{du}{dx} = 2x \Rightarrow du = 2xdx \\= \int sin(u) du \\ = -cos x^2 + C$

Oppgave 3

a)

Ligningrn for linjen:

Konstantleddet er null siden linjen går gjennom (0, 0). Stigningstallet er endring i y verdi delt på endring i x verdi:

$y= \frac rh x$

b)

Dette er en kjegle med radius r og høyde h:

$V = \pi \int\limits_0^h (f(x))^2 dx = \pi \int\limits_0^h \frac{r^2}{h^2}x^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2} [ \frac 13 x^3]_0^h = \frac 13 \pi r^2h $

Oppgave 4

a)

Perioden til f:

$P= \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{\frac{\pi}{2}} = 4$

b)

Likevektslinje : y= 5

Amplitude: A = 3

$y_{min} = 5-3 =2 \\ y_{maks} = 5+3 = 8$

c)

Vendepunkter:

$f^{(2)}(x)=- \frac{3 \pi^2}{4} sin( \frac{\pi}{2}x) \quad \quad x \in <0, 12> \\ f^{(2)}(x)=0 \\ sin( \frac{\pi}{2}x) =0 \\ x=2k , \quad k=1,...,5$

y verdier:

$f(2k)= 5, \quad k= 1,..., 5$

Vendepunkter (2k, 5), \quad k = 1, ... , 5

d)

Oppgave 5

a)

$ \frac{d^2y}{dx}{ -4 \frac{dy}{dx}+5y =0 \\ \frac {d^2}{dx}e^{rx} -4\frac {d}{dx}e^{rx}}-5 e^{rx}=0 \\r^2 e^{rx} -4r e^{rx} -5 e^{rx} =0 \\ (r^2-4r-5)e^{rx} =0 $

$e^{rx}$ er en løsning når $r^2-4r - 5 =0$

b)

$r^2-4r-5=0 \\ r = -1 \vee r=5 \\ y=C_1e^{-x} + C_2e^{5x}$

c)

Fra initialbetingelsene får vi følgende:

$y(0)=6 \Rightarrow C_1 + C_2 =6 \\ y'(0)=0 \Rightarrow -C_1 + 5C_2=0 \\ C_2=1 \wedge C_1 = 5 \\ y= 5e^{-x} + e^{5x}$

Oppgave 6

Oppgave 7

Oppgave 8

Oppgave 9

DEL TO

Oppgave 1

a)

t = 0 for år 2015

Derfor y(0) = 5200000

Endting er " inn minus ut" :

$y' = 44000 + 0,011y - 0,008y = 0,003y + 44000$